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Congruum问题

找到一个平方数 x^2，使得当给定的整数 h 被加上或减去时，得到新的平方数，使得

x^2+h=a^2
(1)

并且

x^2-h=b^2.
(2)

这个问题由数学家泰奥多尔和让·德·帕勒玛在1225年由腓特烈二世在比萨组织的数学竞赛中提出。解法（Ore 1988，第188-191页）是

x=m^2+n^2
(3)
h=4mn(m^2-n^2),
(4)

其中 m 和 n 是整数。a 和 b 由下式给出

a=m^2+2mn-n^2
(5)
b=n^2+2mn-m^2.
(6)

斐波那契证明了所有数 h（congrua）都能被 24 整除。费马直角三角形定理等价于 congruum 不能是平方数的结果。

Ore (1988, 第191页) 给出了 m 和 n 较小时的表格，Lagrange (1977) 给出了更大的表格（对于 h<=1000）。第一个

mnhxab
SloaneA057103A055096A057104A057105
2124571
319610142
3212013177
4124017237
4238420284
43336253117

另请参阅

协和形式, 同余数, Congruum, 平方数

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参考文献

Alter, R. 和 Curtz, T. B. "关于同余数的注释。" Math. Comput. 28, 303-305, 1974.Alter, R.; Curtz, T. B.; 和 Kubota, K. K. "关于同余数的评论和结果。" 在 Proc. Third Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing, 1972, Boca Raton, FL. Boca Raton, FL: Florida Atlantic University, pp. 27-35, 1972.Bastien, L. "同余数。" Interméd. des Math. 22, 231-232, 1915.Gérardin, A. "同余数。" Interméd. des Math. 22, 52-53, 1915.Lagrange, J. "同余数表的构建。" Calculateurs en Math., Bull. Soc. math. France., Mémoire 49-50, 125-130, 1977.Ore, Ø. 数论及其历史。 New York: Dover, 1988.Sloane, N. J. A. "整数序列在线百科全书"中的序列 A055096, A057103, A057104, 和 A057105。

在Wolfram|Alpha中被引用

Congruum问题

引用为

Weisstein, Eric W. "Congruum问题。" 来自 MathWorld--Wolfram Web资源。 https://mathworld.net.cn/CongruumProblem.html

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