补子空间

设 为 赋范空间， 和 为 的代数补子空间 (即， 且 )，设 为商映射， 为自然同构 ，且 为 在 沿 上的投影。那么以下陈述是等价的：

1. 是同胚。

2. 和 在 中是闭的，且 是同胚。

3. 和 是闭的，且 是有界投影。

子空间 和 被称为拓扑补子空间或简称补子空间，如果以上每个等价陈述成立（Constantinescu 2001，Meise 和 Vogt 1997）。

每个有限维子空间都是补子空间，并且有限余维子空间的每个代数补都是拓扑补子空间。在 巴拿赫空间 中，两个闭子空间是代数补子空间当且仅当它们是补子空间。

存在非补的闭子空间。例如，设 为狄利克雷代数，即在 上解析且在 的闭包上连续的所有解析函数的空间。那么， 的子空间，由 的函数到 的限制组成，在 中不是补子空间 (Hoffman 1988)。

与补子空间相关的问题是巴拿赫空间理论的核心，并且已有五十多年的历史（Johnson 和 Lindenstrauss 2001）。