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Carlson-Levin 常数

假设 f 是一个 非负 实 函数，定义域为 [0,infty)，并且以下两个积分

int_0^inftyx^(p-1-lambda)[f(x)]^pdx
(1)
int_0^inftyx^(q-1+mu)[f(x)]^qdx
(2)

存在且是有限的。如果 p=q=2 且 lambda=mu=1, Carlson (1934) 确定了

int_0^inftyf(x)dx<=sqrt(pi)(int_0^infty[f(x)]^2dx)^(1/4)(int_0^inftyx^2[f(x)]^2dx)^(1/4)
(3)

并表明 sqrt(pi) 是最佳常数（就反例可以被构建为任何使用更小常数的更严格不等式的意义而言）。对于一般情况

int_0^inftyf(x)dx<=C(int_0^inftyx^(p-1-lambda)[f(x)]^pdx)^s(int_0^inftyx^(q-1+mu)[f(x)]^qdx)^t,
(4)

Levin (1948) 表明最佳常数是

C=1/((ps)^s(qt)^t)[(Gamma(s/alpha)Gamma(t/alpha))/((lambda+mu)Gamma((s+t)/alpha))]^alpha,
(5)

其中

s=mu/(pmu+qlambda)
(6)
t=lambda/(pmu+qlambda)
(7)
alpha=1-s-t
(8)

且 Gamma(z) 是伽玛函数。

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Beckenbach, E. F.; and Bellman, R. "Carlson's Inequality" and "Generalizations of Carlson's Inequality." §5.8 and 5.9 in Inequalities, 2nd rev. printing. New York: Springer-Verlag, pp. 175-177, 1965.Boas, R. P. Jr. Review of Levin, V. I. "Exact Constants in Inequalities of the Carlson Type." Math. Rev. 9, 415, 1948.Carlson, F. "Une inégalité." Arkiv för Mat., Astron. och Fys. 25B, 1-5, 1934.Finch, S. R. "Carlson-Levin Constant." §3.2 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 211-212, 2003.Levin, V. I. "Exact Constants in Inequalities of the Carlson Type." Doklady Akad. Nauk. SSSR (N. S.) 59, 635-638, 1948. English review in Boas (1948).Mitrinovic, D. S.; Pecaric, J. E.; and Fink, A. M. Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives. Amsterdam, Netherlands: Kluwer, 1991.

在 Wolfram|Alpha 上引用

Carlson-Levin 常数

引用为

Weisstein, Eric W. "Carlson-Levin Constant." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Carlson-LevinConstant.html

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