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探索 Sandreckoner 的盒子

作者：Eric W. Weisstein

2003年11月19日——阿基米德的 stomachion 是一个由 14 块组成的 分割 拼图，类似于更常见的 七巧板。 Magnus Ausonius (公元 310-395 年) 在归因于古代最伟大的数学家阿基米德的残缺不全的手稿中描述了它。

阿基米德最著名的可能是他所谓的浴缸中的惊呼“尤里卡！”（“我找到了！”），但他还发明了可以说至少领先他所处时代一千年的数学。阿基米德不仅发明了 穷竭法，这是一种可以使用听起来非常熟悉 积分学 学生的概念来精确计算面积和体积的技术，而且还在基于位置的印度-阿拉伯数字系统在 1202 年由斐波那契在他的著作 Liber Abaci 中引入欧洲的几个世纪前，设计了一种表示非常大的数字的系统。

阿基米德在他的手稿 The Sandreckoner 中发表了这个数字系统，之所以这样命名，是因为它试图计算填满宇宙所需的沙粒数量。阿基米德计算出的这个数字约为 10⁶⁴ (Carroll)，这对于公元前三世纪来说是一项了不起的壮举，即使更现代的估计约为 10⁹⁰ (Wolfram 2000)。

可悲且具有讽刺意味的是，阿基米德在再次思考数学和沙子时不幸去世。据说在罗马人围攻叙拉古期间，阿基米德通过建造透镜将阳光聚焦在罗马船只上并建造巨大的起重机将它们翻过来，从而单枪匹马地保卫了这座城市。当罗马人最终打破围攻时，阿基米德被一名罗马士兵杀死，此前他对士兵怒吼道：“别动我的圆圈”，这是指他在沙滩上画出的一个几何图形。

在他的众多其他著作中，阿基米德还描述了他称之为“stomachion”的拼图（原因我尚未确定），它在拉丁文本中又被称为“loculus of Archimedes”（阿基米德的盒子）或“syntemachion”。stomachion 这个词的词根是希腊语 ，意思是“胃”。（请注意，虽然罗马奥索尼乌斯将这个图形称为“ostomachion”，但这似乎是对原始希腊词的扭曲。）

如上图所示，stomachion 拼图由 14 块各种形状的扁平瓷砖组成，这些瓷砖可以排列成一个 正方形，瓷砖的顶点位于 12 x 12 正方形网格 线的交点处。可以看出，拼图的配置给出了两对重复的碎片。与七巧板一样，目的是重新排列碎片以形成有趣的形状。以边长为 12 的外接正方形为例，这些碎片的面积分别为 3、3、6、6、6、6、9、12、12、12、12、12、21 和 24，它们的相对面积分别为 1、1、2、2、2、2、3、4、4、4、4、4、7 和 8。有趣的是，正如 Coffin 指出的那样，通过连接规则正方形网格上的点形成的所有多边形的面积始终是整数比率。