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Yff 猜想

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对于任意三角形的猜想，

8omega^3<ABC
(1)

其中 A、 B 和 C 是三角形的顶点角，omega 是 omega 是 Brocard 角。 Abi-Khuzam 不等式指出

sinAsinBsinC<=((3sqrt(3))/(2pi))^3ABC
(2)

（Yff 1963，Le Lionnais 1983，Abi-Khuzam 和 Boghossian 1989），可用于证明该猜想（Abi-Khuzam 1974）。

当两个角相等时，ABC-8omega^3 的值最大，因此取 A=B，并使用 A+B+C=pi，最大值出现在以下最大值处

f(A)=A^2(pi-2A)-8{cot^(-1)[2cotA-cot(2A)]}^3,
(3)

这发生在当

2A(pi-3A) -(48{cot^(-1)[1/2(3cotA+tanA)]}^2[1+2cos(2A)])/(5+4cos(2A))=0.
(4)

数值解给出 A approx 1.40936 (OEIS A133844)，对应的最大值约为 0.440053 (OEIS A133845)。

另请参阅

Abi-Khuzam 不等式, Brocard 角

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参考文献

Abi-Khuzam, F. "Proof of Yff's Conjecture on the Brocard Angle of a Triangle." Elem. Math. 29, 141-142, 1974.Abi-Khuzam, F. F. and Boghossian, A. B. "Some Recent Geometric Inequalities." Amer. Math. Monthly 96, 576-589, 1989.Bottema, O. "On Yff's Inequality for the Brocard Angle Triangle." Elem. Math. 31, 13-14, 1979.Klamkin, M. S. "On Yff's Inequality for the Brocard Angle of a Triangle." Elem. Math. 32, 188, 1977.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, 1983.Sloane, N. J. A. Sequences A133844 and A133845 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Yff, P. "An Analog of the Brocard Points." Amer. Math. Monthly 70, 495-501, 1963.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Yff 猜想

引用为

Eric W. Weisstein "Yff 猜想。" 来自 MathWorld—— Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/YffConjecture.html

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