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韦尔和

形如以下的指数和

sum_(n=1)^Ne^(2piiP(n)),
(1)

其中 P(n) 是一个 实多项式 (Weyl 1914, 1916; Montgomery 2001)。 记

e(theta)=e^(2piitheta),
(2)

这是 Vinogradov 引入的记号，韦尔观察到

|sum_(n=1)^(N)e(P(n))|^2=sum_(n=1)^(N)sum_(m=1)^(N)e(P(m)-P(n))
(3)
=sum_(n=1)^(N)sum_(h=1-n)^(N-n)e(P(n+h)-P(n))
(4)
=sum_(h=-N+1)^(N-1)sum_(1<=n<=N; 1-h<=n<=N-h)e(P(n+h)-P(n))
(5)
=N+2R[sum_(h=1)^(N-1)sum_(n=1)^(N-h)e(P(n+h)-P(n))],
(6)

一个被称为韦尔差分的过程。

韦尔能够使用这个过程证明，如果

P(x)=sum_(i=0)^da_ix^i
(7)

是一个 实多项式 且 a_1, ..., a_d 中至少一个是无理数，那么 {P(n)} 是均匀分布的（mod 1）。

另请参阅

van der Corput 不等式, 韦尔判据

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Berry, M. V. and Goldberg, J. "Curlicues 的重整化。" Nonlinearity 61, 1-26, 1988.Lehmer, D. H. and Lehmer, E. "形象的指数和，I。" Amer. Math. Monthly 86, 725-733, 1979.Montgomery, H. L. "解析数论中的调和分析。" 在 Twentieth Century Harmonic Analysis--A Celebration. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute Held in Il Ciocco, July 2-15, 2000 (Ed. J. S. Byrnes)。 荷兰多德雷赫特：Kluwer，第 271-293 页，2001 年。Montgomery, H. L. 解析数论与调和分析界面上的十次讲座。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994.Pickover, C. A. "分形黄金 Curlicue 冷吗？" Visual Comput. 11, 309-312, 1995.Stewart, I. 你又让我陷入了精妙的数学.... New York: Freeman, 1992.Weyl, H. "关于丢番图逼近领域的一个问题。" Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Kl., 234-244, 1914. 重印于 Gesammelte Abhandlungen, Band I. Berlin: Springer-Verlag, pp. 487-497, 1968.Weyl, H. "关于模 1 数字的均匀分布。" Math. Ann. 77, 313-352, 1916. 重印于 Gesammelte Abhandlungen, Band I. Berlin: Springer-Verlag, pp. 563-599, 1968. 也重印于 Selecta Hermann Weyl. Basel, Switzerland: Birkhäuser, pp. 111-147, 1956.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

韦尔和

请这样引用

Weisstein, Eric W. “韦尔和。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/WeylSum.html

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