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Vallée 常数

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考虑比较两个实数 x 和 y 的问题，基于它们的 连分数 表示。那么确定 x<y 或 x>y 所需的平均迭代次数由下式给出

<N>=3/4+(180)/(pi^4)sum_(i=1)^(infty)sum_(j=i+1)^(2i)1/(i^2j^2)
(1)
=(17)/4+(360)/(pi^4)sum_(i=1)^(infty)sum_(j=1)^(i)((-1)^i)/(i^2j^2)
(2)
=17-(60)/(pi^4)[24Li_4(1/2)-pi^2ln^22+21zeta(3)ln2+ln^42]
(3)
=1.3511315744...
(4)

(OEIS A143303; Finch 2003, p. 161)，其中 Li_4(x) 是一个 多对数函数。

令 p_n=P(N>=n+1)，则前几个值可以由下式给出

p_1=sum_(i=1)^(infty)1/(i^2(i+1)^2)
(5)
=1/3pi^2-3
(6)
=0.2898681336...
(7)
p_2=sum_(i=1)^(infty)sum_(j=1)^(infty)1/((ij+1)^2(ij+i+1)^2)
(8)
=-5+2/3pi^2-2zeta(3)+2sum_(n=0)^(infty)(-1)^n(n+1)zeta(n+4)[zeta(n+2)-1]
(9)
=0.0484808014...
(10)
p_3=sum_(i=1)^(infty)sum_(j=1)^(infty)sum_(k=1)^(infty)1/((ijk+i+k)^2(ijk+ij+i+k+1)^2)
(11)
=0.0102781647....
(12)

该值

v=lim_(n->infty)p_n^(1/n)=0.1994588183...
(13)

(OEIS A143302) 随后被称为 Vallée 常数 (Finch 2003, p. 161)。

使用 探索

参考文献

Finch, S. R. "Hall-Montgomery 常数。" 《数学常数》§2.33。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 205-207, 2003.Sloane, N. J. A. “整数序列在线百科全书”中的序列 A143302 和 A143303。

在 中引用

Vallée 常数

引用为

Weisstein, Eric W. “Vallée 常数。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ValleeConstant.html

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