唯一可嵌入图

一般来说，同一个平面图的不同嵌入可以产生非同构的对偶图。唯一可嵌入图是一个平面图，它具有唯一的对偶图（在同构意义下），而与用于构造它的底层嵌入无关。

如果存在一个球面同胚将一个绘图发送到另一个绘图，则平面图的两个嵌入是等价的。因此，唯一可嵌入图在其球面上的所有嵌入彼此同胚。

Whitney (1932) 证明了多面体图是唯一可嵌入的。

顶点数为 , 2, ... 的唯一可嵌入连通图的数量为 1, 1, 2, 6, 15, 51, 206, 1297, 11742, 143095, 2056120, 32337106, ... (OEIS A372853)，其中前几个如上所示。顶点数为 , 2, ... 的图的最大平面嵌入数为 1, 1, 1, 1, 2, 6, 24, 80, 240, 1080, 3780, 13440, ... (OEIS A372854)。

由于某些树的分支不能围绕公共叉点进行同胚互换，因此并非所有树都是唯一可嵌入的。最小的非唯一可嵌入树有 7 个顶点，并且只有这样一棵树。它不是唯一可嵌入的，因为两个短分支可以相邻或在两个长分支之间，从而给出两个不同的平面嵌入。有四棵 8 顶点树不是唯一可嵌入的，包括 4-蜈蚣图。顶点数为 , 2, ... 的非唯一可嵌入树的数量为 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 16, 49, 140, 390, ... (OEIS A378673)，相应的唯一可嵌入树的数量为 1, 1, 1, 2, 3, 6, 10, 19, 31, 57, 95, 161, ... (OEIS A378672)。

Fleischner (1973) 找到了标记图的唯一可嵌入图的表征。一个连通平面图 （以某种方式涉及标记）在平面中是唯一可嵌入的，当且仅当 是以下图之一

1. 同胚于一个 3-连通图，

2. 同胚于完全二分图 ，

3. 同胚于三角形图 ，

4. 同胚于 或 ，

5. 同胚于 ，或

6. 同胚于 ，其中 且 。