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稀疏多项式平方

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稀疏多项式平方是一个多项式 [P(x)]^2 的平方，它的项数比原始多项式 P(x) 少。例子包括 Rényi 多项式

P_(28)(x)=(4x^4+4x^3-2x^2+2x+1)×(-84x^(24)+28x^(20)-10x^(16)+4x^(12)-2x^8+2x^4+1)
(1)

（Rényi 1947，Coppersmith 和 Davenport 1991），它有 29 项，其平方有 28 项，Choudhry 多项式

P_(17)(x)=(x^2+2x-2)×(x^(15)+4x^(12)-8x^9+32x^6-160x^3+896)
(2)

（Coppersmith 和 Davenport 1991），它有 18 项，其平方有 17 项，以及

P_(12)(x)=(125x^6+50x^5-10x^4+4x^3-2x^2+2x+1) ×(-110x^6+1)
(3)

（Coppersmith 和 Davenport 1991；Trott 2004，第 276 页），它有 13 项，其平方有 12 项。

事实上，Coppersmith 和 Davenport (1991) 发现了八个 13 次多项式，它们的平方是稀疏的（12 次）。

(125x^6+50x^5-10x^4+4x^3-2x^2+2x+1)(alphax^6+1),
(4)

其中六个 alpha 值是有理数： -110, -253, -55/2, -3125/22, -15625/253, 和 -6250/11 (Abbott 2002)。 Abbott (2002) 使用 Gröbner 基 表明，次数小于 12 的多项式没有稀疏平方，但无法证明这些例子是详尽无遗的。

参见

多项式, Rényi 多项式

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参考文献

Abbott, J. "Sparse Squares of Polynomials." Math. Comput. 71, 407-413, 2002.Coppersmith, D. and Davenport, J. "Polynomials Whose Powers Are Sparse." Acta Arith. 58, 79-87, 1991.Erdős, P. "On the Number of Terms of the Square of a Polynomial." Nieuw Arch. Wisk. 23, 63-65, 1949.Freud, R. "On the Minimum Number of Terms in the Square of a Polynomial." Mat. Lapok 24, 95-98, 1973.Rényi, A. "On the Minimal Number of Terms in the Square of a Polynomial." Acta Math. Hungar. 1, 30-34, 1947. Reprinted in Selected Papers of Alfred Rényi, Vol. 1. Budapest, pp. 44-47, 1976.Schinzel, A. "On the Number of Terms of a Power of a Polynomial." Acta Arith. 49, 55-70, 1987.Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Verdenius, W. "On the Number of Terms of the Square and the Cube of Polynomials." Indag. Math. 11, 546-565, 1949.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

稀疏多项式平方

引用为

Weisstein, Eric W. "稀疏多项式平方。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SparsePolynomialSquare.html

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