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Simon 问题


由数学物理学家巴里·西蒙 (Barry Simon) (2000) 提出的关于 薛定谔算符 的 15 个开放性问题集。 这组问题是西蒙在 1984 年提出的数学物理学开放性问题列表的后续,其中 13 个问题涉及薛定谔算符。

1. 扩展态。 证明对于 nu>=3b-a 的合适值,Anderson 模型在某些能量范围内具有纯粹绝对连续谱。

2. 二维局域化。 证明对于 nu=2,对于所有 b-a 值,Anderson 模型的谱是稠密纯点谱。

3. 量子扩散。 证明对于 nu>=3 和存在 a.c. 谱的 |b-a| 值,sum_(n in Z^nu)n^2|e^(itH)(n,0)|^2 随着 t->inftyct 增长。

4. 十马提尼问题。 证明对于所有 lambda!=0 和所有无理数 alphaspec(h_(alpha,lambda,theta)) (它是与 theta 无关的)是一个 康托集,即它是 无处稠密 的。

5. 证明对于所有无理数 alphalambda=2spec(h_(alpha,lambda,theta)) 具有 零测度

6. 证明对于所有无理数 alphalambda<2,谱是纯粹绝对连续的。

7. 是否存在 V(x)[0,infty) 上的势,使得对于某些 epsilon>0|V(x)|<=C|x|^(-1/2-epsilon) 并且 -(d^2)/(dx^2)+V 具有一些奇异连续谱?

8. 令 VR^nu 上的函数,它服从

 int|x|^(-nu+1)|V(x)|^2d^nux<infty.

证明如果 nu>=2,则 -Delta+V[0,infty) 上具有无限重数的 a.c. 谱。

9. 证明 N_0(Z)-Z 随着 Z->infty 是有界的。

10. 当 Z->infty 时,(deltaE)(Z) 的渐近性是什么?

11. 使原子壳模型具有数学意义。

12. 是否存在数学意义,可以从第一性原理证明当前用于确定分子构型的技术是合理的?

13. 证明当中性分子和电子系统的基态,当原子核的数量趋于无穷大时,会趋于周期性极限。

14. 证明态的积分密度 k(E) 在能量上是连续的。

15. 证明 Lieb-Thirring 猜想关于它们的常数 L_(gamma,nu) 对于 nu=11/2<gamma<3/2

十马提尼问题 (#4) 已被 Puig (2003) 解决。

关于 Anderson 模型方程中零测度的猜想 (#5) 已被 Avila 和 Krikorian (2003) 解决。

问题 #7 已被 Denissov (2003) 基本解决,尽管他只有 L^2 而不是逐点衰减,并由 Kiselev 完全解决。


另请参阅

薛定谔算符

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Avila, A. 和 Krikorian, R. "Quasiperiodic Schrodinger Cocycles 的可约性或非均匀双曲性。" 2003 年 6 月 26 日。 http://arxiv.org/abs/math/0306382Denissov, S. A. "关于具有平方可积势的某些 Sturm-Liouville 算符的谱测度的绝对连续和奇异连续分量的共存性。" J. Diff. Eq. 191, 90-104, 2003。Kiselev, A. "薛定谔算符的嵌入奇异连续谱。" 预印本。 http://www.math.uchicago.edu/~kiselev/sc1.psPuig, J. "几乎 Mathieu 算符的康托谱。局域化、可约性和对偶性的推论。" 2003 年 9 月 1 日。 http://arxiv.org/abs/math-ph/0309004Simon, B. "二十一世纪的薛定谔算符。" 2000 年 2 月 17 日。 http://www.ma.utexas.edu/mp_arc-bin/mpa?yn=00-78

在 Wolfram|Alpha 上引用

Simon 问题

请引用为

Weisstein, Eric W. "Simon 问题。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SimonsProblems.html

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