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普朗克辐射函数

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Planck

普朗克的辐射函数是函数

f(x)=(15)/(pi^4)1/(x^5(e^(1/x)-1)),
(1)

其归一化使得

int_0^inftyf(x)dx=1.
(2)

然而，该函数有时也被定义为没有数值归一化因子 15/pi^4 的形式 (例如，Abramowitz and Stegun 1972, p. 999)。

第一和第二 原点矩 是

mu_1^'=(30zeta(3))/(pi^4)
(3)
mu_2^'=5/(2pi^2),
(4)

其中 zeta(3) 是 阿佩里常数，但更高阶的原点矩不存在，因为相应的积分不收敛。

它在 最大值 处取得最大值，大约为 x approx 0.201405 (OEIS A133838)，其中

f^'(x)=(5x-e^(1/x)(5x-1))/(x^7(e^(1/x)-1)^2)=0,
(5)

拐点位于 x approx 0.11842 (OEIS A133839) 和 x approx 0.283757 (OEIS A133840)，其中

f^('')(x)=(e^(1/x)(1+e^(1/x))+6x(e^(1/x)-1)[e^(1/x)(5x-2)-5x])/((e^(1/x)-1)^3x^9)=0.
(6)

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). "普朗克辐射函数." §27.2 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, p. 999, 1972.Sloane, N. J. A. 序列 A133838, A133839, A133840 in "整数序列在线百科全书。"

在 Wolfram|Alpha 中被引用

普朗克辐射函数

引用为

Weisstein, Eric W. "普朗克辐射函数。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PlancksRadiationFunction.html

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