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非共形映射

设 gamma 为 C 中的路径, w=f(z), 且 theta 和 phi 分别为曲线 gamma 和 f(gamma) 在 z_0 和 w_0 处的切线。如果存在一个 N 使得

f^((N))(z_0)!=0
(1)
f^((n))(z_0)=0
(2)

对于所有 n<N (或等价地，如果 f^'(z) 有一个 N-1 阶零点), 那么

f(z)=f(z_0)+(f^((N))(z_0))/(N!)(z-z_0)^N+(f^((N+1))(z_0))/((N+1)!)(z-z_0)^(N+1)+...
(3)
f(z)-f(z_0)=(z-z_0)^N[(f(N)(z_0))/(N!)+(f^((N+1))(z_0))/((N+1)!)(z-z_0)+...],
(4)

因此 复角 是

arg[f(z)-f(z_0)]=Narg(z-z_0)+arg[(f(N)(z_0))/(N!)+(f^((N+1))(z_0))/((N+1)!)(z-z_0)+...].
(5)

当 z->z_0 时, arg(z-z_0)->theta 且 |arg[f(z)-f(z_0)]|->phi,

phi=Ntheta+arg[(f(N)(z_0))/(N!)]=Ntheta+arg[f(N)(z_0)].
(6)

另请参阅

共形映射

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引用为

Weisstein, Eric W. "非共形映射。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/NonconformalMap.html

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