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诺伊曼多项式

多项式 O_n(x) 可以通过以下求和定义

O_n(x)=1/4sum_(k=0)^(|_n/2_|)(n(n-k-1)!)/(k!)(1/2x)^(2k-n-1)
(1)

对于 n>=1，其中 |_x_| 是向下取整函数。 它们服从递推关系

O_n(x)=-n/(n-2)O_(n-2)(x)+(2n)/xO_(n-1)(x)+(2(n-1))/((n-2)x)sin^2[1/2(n-1)pi]
(2)

对于 n>=3。 它们具有积分表示

O_n(x)=int_0^infty((u+sqrt(u^2+x^2))^n+(u-sqrt(u^2+x^2))^n)/(2x^(n+1))e^(-u)du,
(3)

和生成函数

1/(x-xi)=J_0(xi)x^(-1)+2sum_(n=1)^inftyJ_n(xi)O_n(x)
(4)

(Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 990)，并且服从诺伊曼微分方程。

前几个诺伊曼多项式由下式给出

O_0(x)=1/x
(5)
O_1(x)=1/(x^2)
(6)
O_2(x)=(x^2+4)/(x^3)
(7)
O_3(x)=(3x^2+24)/(x^4)
(8)
O_4(x)=(x^4+16x^2+192)/(x^5)
(9)

(OEIS A057869)。

另请参阅

诺伊曼微分方程, 施莱夫利多项式

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Erdelyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. 高等超越函数，第 2 卷。 Krieger, pp. 32-33, 1981.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. "诺伊曼和施莱夫利多项式: O_n(z) 和 S_n(z)." §8.59 in 积分、级数和乘积表，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, pp. 989-991, 2000.Sloane, N. J. A. 序列 A057869 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."von Seggern, D. CRC 标准曲线和曲面。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 196, 1993.Watson, G. N. 贝塞尔函数理论专著，第 2 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 298-305, 1966.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

诺伊曼多项式

请引用为

Weisstein, Eric W. "诺伊曼多项式。" 来自 MathWorld—— Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/NeumannPolynomial.html

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