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积性数论函数

一个积性 数论函数是一个具有以下性质的数论函数 f

f(mn)=f(m)f(n)
(1)

对于所有互质的正整数对 m 和 n。

如果

n=p_1^(alpha_1)p_2^(alpha_2)...p_r^(alpha_r)
(2)

是数字 n 的素因数分解，那么

f(n)=f(p_1^(alpha_1))f(p_2^(alpha_2))...f(p_r^(alpha_r)).
(3)

积性数论函数满足以下惊人的恒等式

sum_(n=1)^(infty)(f(n))/(n^s)=product_(p)[sum_(k=0)^(infty)f(p^k)p^(-ks)]
(4)
=product_(p)[1+f(p)p^(-s)+f(p^2)p^(-2s)+...],
(5)

其中乘积是对所有素数进行的。

另请参阅

积性函数, 积性数论, 数论函数

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参考文献

Wilf, H. Generatingfunctionology, 第 2 版。 纽约: Academic Press, p. 58, 1994.

在 Wolfram|Alpha 中引用

积性数论函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "积性数论函数。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/MultiplicativeNumberTheoreticFunction.html

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