猴子和椰子问题

一个 丢番图 问题（即，其解必须用 整数 表示）旨在寻求以下问题的解。给定 个人和一堆椰子，每个人按顺序取走前一个人取走后剩余椰子的 （即，第一个人取 ，第二个人取 ，...，最后一个人取 ），并拿出 个椰子（问题中指定每个人都是相同的数量）给猴子，这些椰子无法被猴子均分。当所有 个人都这样分配后，他们将剩余的椰子分成 份（即，每个人再取走 个椰子），并将剩余的 个椰子给猴子。如果每次分配给猴子的数量 都相同，那么最初有多少个椰子 ？ 该问题的解等价于解 个 丢番图方程

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)

可以被重写为

			(6)
			(7)
			(8)
			(9)
			(10)
			(11)

由于在 个方程中，有 个 未知数 , , ..., , , 和 ，所以解空间是一维的（即，存在由单个值参数化的无限解族）。这些方程的解可以由下式给出

(12)

其中 是任意 整数 (Gardner 1961)。

对于 n=5 个人和 m=1 个剩余椰子的特殊情况，这 6 个方程可以组合成单个 丢番图方程

(13)

其中 是最后一次分配中每个人得到的数量。 在这种情况下，最小的正整数解是 个椰子，对应于 和 (Gardner 1961)。下表显示了根据上述方案如何分配这个相当大的椰子数量。

取走	给猴子	剩余
	1
	1
	1
	1
	1
	1	0

如果在最后 份分配后没有椰子留给猴子 (Williams 1926)，那么最初的椰子数量是

(14)

对于 n=5 和 m=1 的情况，最小的正整数解是 个椰子，对应于 和最后分配中的 个椰子 (Gardner 1961)。下表显示了这些椰子是如何分配的。

取走	给猴子	剩余
624	1
499	1
399	1
319	1
255	1
	0	0

Pappas (1989) 考虑了该问题的另一个版本，其解为 79 个椰子。