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曼恩定理

曼恩定理是一个广为流传的定理，最初被称为“alpha-beta 猜想”，后来由曼恩 (1942) 证明。它指出，如果 A 和 B 是各自包含 0 的整数集，则

sigma(A direct sum B)>=min{1,sigma(A)+sigma(B)}.

这里，A direct sum B 表示直和，即 A direct sum B={a+b:a in A,b in B}, 并且 sigma 是施尼雷尔曼密度。

曼恩定理在某种意义上是最优的，即 A=B={0,1,11,12,13,...} 满足 sigma(A direct sum B)=sigma(A)+sigma(B)。

曼恩定理暗示了施尼雷尔曼定理，如下所示。令 P={0,1} union {p:p prime}, 那么曼恩定理证明了 sigma(P+P+P+P)>2sigma(P+P), 因此随着包含越来越多的素数副本，施尼雷尔曼密度至少线性增加，因此最多达到 1 2·1/(sigma(P+P)) 素数的副本。由于施尼雷尔曼密度为 1 的集合是包含所有正整数的集合，因此施尼雷尔曼定理成立。

另请参阅

施尼雷尔曼密度, 施尼雷尔曼定理

此条目由 Kevin O'Bryant 贡献

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参考文献

Garrison, B. K. "A Nontransformation Proof of Mann's Density Theorem." J. reine angew. Math. 245, 41-46, 1970.Khinchin, A. Y. "The Landau-Schnirelmann Hypothesis and Mann's Theorem." Ch. 2 in Three Pearls of Number Theory. New York: Dover, pp. 18-36, 1998.Mann, H. B. "A Proof of the Fundamental Theorem on the Density of Sets of Positive Integers." Ann. Math. 43, 523-527, 1942.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

曼恩定理

请引用为

O'Bryant, Kevin. "曼恩定理。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/MannsTheorem.html

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