纽结对称性

纽结 的对称性是 的同胚，它将 映射到自身。更简洁地说，纽结对称性是空间对 的同胚。Hoste 等人 (1998) 根据对称性是否保持或反转 和 的定向，考虑了四种类型的对称性，

1. 保持 定向，保持 定向 (恒等运算),

2. 保持 定向，反转 定向,

3. 反转 定向，保持 定向,

4. 反转 定向，反转 定向。

这给出了下面表格中总结的五种可能的对称性类别。

类别	对称性	纽结对称性
	1	手性的，不可逆的
	1, 3	双手性的，不可逆的
	1, 4	双手性的，不可逆的
	1, 2	手性的，可逆的
	1, 2, 3, 4	和 双手性的，可逆的

对于双曲纽结，对称群必须是有限的，并且是循环群或二面体群 (Riley 1979, Kodama 和 Sakuma 1992, Hoste 等人 1998)。对于非双曲纽结，分类稍微复杂一些。此外，所有交叉数 <=8 的纽结都是双手性的或可逆的 (Hoste 等人 1998)。素交错链环的任何对称性在链环的任何交错图解中都必须是可见的 (Bonahon 和 Siebermann, Menasco 和 Thistlethwaite 1993, Hoste 等人 1998)。

以下表格 (Hoste 等人 1998) 给出了属于循环对称群 (Sloane 的 A052411 对于 和 A052412 对于 ) 和二面体对称群 (Sloane 的 A052415 到 A052422) 的 n-交叉纽结的数量。在交叉数少于或等于 16 的纽结中，只有各一个纽结具有对称群 , , 和 (左上方)。只有两个纽结具有对称群 ，一个双曲的 (右上方)，另一个是卫星纽结。此外，分别有 2 个、4 个和 10 个具有 14-、15- 和 16-交叉数的卫星纽结，它们属于二面体群 。

1	0	0	0	0
2	0	0	0	0
3	0	0	0	0
4	0	0	0	0
5	0	0	0	0
6	0	0	0	0
7	0	0	0	0
8	0	0	0	0
9	2	0	0	0
10	24	3	0	0
11	173	14	0	0
12	1047	57	0	0
13	6709	210	0	0
14	37177	712	0	2
15	224311	2268	1	0
16	1301492	7011	0	11

1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
4	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
5	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
6	0	2	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
7	0	4	0	2	0	0	0	0	0	0	0	0
8	4	12	0	3	0	0	0	1	0	0	0	0
9	13	23	3	4	0	3	0	0	0	0	0	0
10	66	62	1	5	0	1	0	0	0	1	0	0
11	217	134	2	11	0	0	0	0	0	0	0	0
12	728	309	6	18	0	8	1	2	0	0	0	0
13	2391	647	1	21	2	3	1	2	0	0	0	0
14	7575	1463	4	31	2	2	0	0	0	0	1	0
15	23517	3065	50	53	3	12	0	2	1	4	0	0
16	73263	6791	15	89	0	10	1	8	1	1	0	1