Keith 数

Keith 数是一个 位 整数 ，使得如果一个类似斐波那契数列（其中序列中的每一项是前 项之和）由数字 项（取自数字 的十进制数字）构成，那么 本身会作为序列中的一项出现。例如，197 是一个 Keith 数，因为它生成序列 1, 9, 7, , , , , , ... (Keith)。Keith 数也称为 repfigit（repetitive fibonacci-like digit）数。

除了穷举搜索外，没有已知的通用技术可以找到 Keith 数。Keith 数比素数稀有得多，只有 84 个位数少于 位的 Keith 数。前几个是 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, ... (OEIS A007629)。截至 2006 年 3 月 31 日，已知有 95 个 Keith 数 (Keith)。位数分别为 , 2, ... 的 Keith 数的数量为 0, 6, 2, 9, 7, 10, 2, 3, 2, 0, 2, 4, 2, 3, 3, 3, 5, 3, 5, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 7, 1, 2, 5, 2, 4, 6, 3, ... (OEIS A050235)，如下表所示。

	位 Keith 数
2	14, 19, 28, 47, 61, 75
3	197, 742
4	1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909
5	31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993
6	120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280, 925993
7	1084051, 7913837
8	11436171, 33445755, 44121607
9	129572008, 251133297
10	（无）
11	24769286411 96189170155
12	171570159070, 202366307758, 239143607789, 296658839738
13	1934197506555, 8756963649152
14	43520999798747, 74596893730427, 97295849958669
15	120984833091531, 270585509032586, 754788753590897
16	3621344088074041, 3756915124022254, 4362827422508274
17	11812665388886672, 14508137312404344, 16402582054271374, 69953250322018194, 73583709853303061
18	119115440241433462, 166308721919462318, 301273478581322148
19	1362353777290081176, 3389041747878384662, 5710594497265802190, 5776750370944624064, 6195637556095764016
20	12763314479461384279, 27847652577905793413, 45419266414495601903
21	855191324330802397989
22	7657230882259548723593
23	26842994422637112523337, 36899277593852609997403, 61333853602129819189668
24	229146413136585558461227
25	9838678687915198599200604
26	18354972585225358067718266, 19876234926457288511947945, 98938191214220718050301312
27	153669354455482560987178342, 154677881401007799974564336, 133118411174059688391045955, 154140275428339949899922650, 295768237361291708645227474, 956633720464114515890318410, 988242310393860390066911414
28	9493976840390265868522067200
29	41796205765147426974704791528, 70267375510207885242218837404
30	127304146123884420932123248317, 389939548933846065763772833753, 344669719564188054170496150677, 756672276587447504826932994366, 534139807526361917710268232010
31	1598187483427964679092074853838, 2405620130870553672640058975437
32	41030306579725050560909919549414, 47824404246899742508216679149392, 42983394195992223818343905028410, 89980815134051887612993101615858
33	172451142646837728336412943204299, 193962639439026709638083447831059, 381933008901296879565658130750756, 359253598248137147666007355623218, 303294117104027490007126494842828, 312736110821858321305917486145434
34	1876178467884883559985053635963437, 2787674840304510129398176411111966, 5752090994058710841670361653731519

目前尚不清楚 Keith 数是否是无限的。

已知的素数 Keith 数为 19, 47, 61, 197, 1084051, 74596893730427, ... (OEIS A048970)。

26 位 Keith 数 98938191214220718050301312 是由 D. Lichtblau 于 2004 年发现的，他使用整数线性规划来解决 Wolfram 语言中相关的丢番图方程。D. Lichtblau 于 2009 年 6 月 23 日发现了所有 30 位和 31 位 Keith 数，并于 2009 年 8 月 26 日发现了所有 32 位、33 位和 34 位 Keith 数。其中最大的是 5752090994058710841670361653731519，这是截至 2009 年 8 月已知的最大 Keith 数。

类似地，反向 Keith 数或 revrepfigit（反向复制斐波那契式数字）数是一个 位整数 ，使得如果一个类似斐波那契数列（其中序列中的每一项是前几项之和）由数字 的十进制数字作为首项构成，那么 的反转会作为序列中的一项出现。例如，341 是一个 revrepfigit，因为它生成序列 3, 4, 1, , , , , , 。

目前已知的 revrepfigit 有 12, 24, 36, 48, 52, 71, 341, 682, 1285, 5532, 8166, 17593, 28421, 74733, 90711, 759664, 901921, 1593583, 4808691, 6615651, 6738984, 8366363, 8422611, 26435142, 54734431, 57133931, 79112422, 351247542, 428899438, 489044741, 578989902, 3207761244, 4156222103, 5426705064, 5785766973, 6336657062, 48980740972, 51149725354, 83626284302, 94183600081, 98665175305, 1935391095868, 6002181268035, 6334708806271, 12348924235856, 27488180694681, 76365591939888, 309217509306732, 352062080376812, 714692062325732, 723735537269331, 2437358882180001, 6792079280704301, 62244424802562056, 203414193894268461, 217049132946408803, 415499563488189604, 561624665953167171, ... (OEIS A097060；A. Vrba，私人通信，2006 年 12 月 28 日)。请注意，没有以零结尾的数字；它们是不允许的，因为零会在反转时被删除。但是允许使用内部零的项，例如 90711。已知的素数 revrepfigit 为 71、1593583 和 54734431 (A. Vrba，私人通信，2006 年 12 月 28 日)。

目前尚不清楚是否存在无限多个 revrepfigit 数。