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Kac 公式

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KacFormula

如果系数是独立且正态分布的，则 实 零点的期望数 E_n 的一个 随机多项式 的次数 n 由下式给出

E_n=1/piint_(-infty)^inftysqrt(1/((t^2-1)^2)-((n+1)^2t^(2n))/((t^(2n+2)-1)^2))dt
(1)
=4/piint_0^1sqrt(1/((1-t^2)^2)-((n+1)^2t^(2n))/((1-t^(2n+2))^2))dt.
(2)

（Kac 1943，Edelman 和 Kostlan 1995）。方程的另一种形式由下式给出

E_n=1/piint_(-infty)^inftysqrt([(partial^2)/(partialxpartialy)ln(1-(xy)^(n+1))/(1-xy)]_(x=y=t))dt
(3)

（Kostlan 1993，Edelman 和 Kostlan 1995）。上面的图表显示了被积函数 I_n(t) （左）和数值 E_n （右图中的红色曲线）对于小 n。前几个值是 1, 1.29702, 1.49276, 1.64049, 1.7596, 1.85955, ....

当 n->infty 时，

E_n=2/pilnn+C_1+2/(pin)+O(n^(-2)),
(4)

其中

C_1=2/pi{ln2+int_0^infty[sqrt(1/(x^2)-(4e^(-2x))/((1-e^(-2x))^2))-1/(x+1)]dx}
(5)
=0.6257358072...
(6)

（OEIS A093601；右图中的顶部曲线）。初始项由 Kac (1943) 推导得出。

另请参阅

随机多项式

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参考文献

Edelman, A. 和 Kostlan, E. "有多少随机多项式的零点是实数？" Bull. Amer. Math. Soc. 32, 1-37, 1995.Kac, M. "关于随机代数方程的实根的平均数。" Bull. Amer. Math. Soc. 49, 314-320, 1943.Kac, M. "对 '关于随机代数方程的实根的平均数' 的修正。" Bull. Amer. Math. Soc. 49, 938, 1943.Kostan, E. "关于随机多项式中根的分布。" 第 38 章，从拓扑学到计算：Smalefest 会议论文集 (Ed. M. W. Hirsch, J. E. Marsden, 和 M. Shub)。纽约：Springer-Verlag，pp. 419-431, 1993.Sloane, N. J. A. 序列 A093601 在 "整数序列在线百科全书" 中。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Kac 公式

引用为

Weisstein, Eric W. “Kac 公式。” 来自 MathWorld-- Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/KacFormula.html

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