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积分符号下的积分

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积分符号下的积分是使用以下恒等式

int_a^bdxint_(alpha_0)^alphaf(x,alpha)dalpha=int_(alpha_0)^alphadalphaint_a^bf(x,alpha)dx
(1)

来计算积分。 例如，考虑

int_0^1x^alphadx=1/(alpha+1)
(2)

对于 alpha>-1。 乘以 dalpha 并在 a 和 b 之间积分得到

int_a^bdalphaint_0^1x^alphadx=int_a^b(dalpha)/(alpha+1)
(3)
=ln|(b+1)/(a+1)|.
(4)

但左侧等于

int_0^1dxint_a^bx^alphadalpha=int_0^1(x^b-x^a)/(lnx)dx,
(5)

因此得出

int_0^1(x^b-x^a)/(lnx)dx=ln((b+1)/(a+1))
(6)

(Woods 1926, pp. 145-146)。

参见

积分, 积分符号, 积分, 莱布尼茨积分法则

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参考文献

Woods, F. S. "积分符号下的积分。" §61 in 高等微积分：为应用数学专业学生的需求安排的课程。 Boston, MA: Ginn, pp. 145-146, 1926。

在 Wolfram|Alpha 上引用

积分符号下的积分

引用为

Weisstein, Eric W. "积分符号下的积分。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/IntegrationUndertheIntegralSign.html

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