与 兰形线函数 类似，双曲兰形线函数也可以定义为
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(1)
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(2)
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(3)
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(4)
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其中 
是一个 超几何函数。
设 
且 
，并写为
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(5)
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(6)
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其中 
是通过设置 
和 
获得的常数，其由下式给出
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(7)
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(8)
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其中 
是 第一类完全椭圆积分。拉马努金证明了
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(9)
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![1/8pi-1/2tan^(-1)(v^2)=sum_(n=0)^infty((-1)^ncos[(2n+1)theta])/((2n+1)cosh[1/2(2n+1)pi])](/images/equations/HyperbolicLemniscateFunction/NumberedEquation2.svg) |
(10)
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和
![ln((1+v)/(1-v))=ln[tan(1/4pi+1/2theta)]+4sum_(n=0)^infty((-1)^nsin[(2n+1)theta])/((2n+1)[e^((2n+1)pi)-1])](/images/equations/HyperbolicLemniscateFunction/NumberedEquation3.svg) |
(11)
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(Berndt 1994)。
双曲兰形线函数
另请参阅
兰形线函数使用 Wolfram|Alpha 探索
参考文献
Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 255-258, 1994.在 Wolfram|Alpha 中被引用
双曲兰形线函数引用为
Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Lemniscate Function." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HyperbolicLemniscateFunction.html