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亥姆霍兹微分方程--抛物线坐标

尺度因子是 h_u=h_v=sqrt(u^2+v^2), h_theta=uv 并且分离函数是 f_1(u)=u, f_2(v)=v, f_3(theta)=1, 给定一个 Stäckel 行列式为 S=u^2+v^2。 拉普拉斯算符是

1/(u^2+v^2)(1/u(partialF)/(partialu)+(partial^2F)/(partialu^2)+1/v(partialF)/(partialv)+(partial^2F)/(partialv^2))+1/(u^2v^2)(partial^2F)/(partialtheta^2)+k^2F=0.
(1)

尝试分离变量法，写作

F(u,v,theta)=U(u)V(v)Theta(theta),
(2)

则亥姆霍兹微分方程变为

1/(u^2+v^2)[VTheta(1/u(dU)/(du)+(d^2U)/(du^2))+UTheta(1/v(dV)/(dv)+(d^2V)/(dv^2))] +(UV)/(u^2v^2)(d^2Theta)/(dtheta^2)+k^2UVTheta=0.
(3)

现在乘以 u^2v^2/(UVTheta),

(u^2v^2)/(u^2+v^2)[1/U(1/u(dU)/(du)+(d^2U)/(du^2))+1/V(1/v(dV)/(dv)+(d^2V)/(dv^2))] +1/Theta(d^2Theta)/(dtheta^2)+k^2u^2v^2=0.
(4)

分离 Theta 部分得到

1/Theta(d^2Theta)/(dtheta^2)=-m^2,
(5)

其解为

Theta(theta)=A_mcos(mtheta)+B_msin(mtheta).
(6)

将 (5) 代入 (4) 并乘以 (u^2+v^2)/(u^2v^2) 得到

[1/U(1/u(dU)/(du)+(d^2U)/(du^2))+1/V(1/v(dV)/(dv)+(d^2V)/(dv^2))] -m^2(u^2+v^2)/(u^2v^2)+k^2(u^2+v^2).
(7)

改写，

[1/U(1/u(dU)/(du)+(d^2U)/(du^2))+1/V(1/v(dV)/(dv)+(d^2V)/(dv^2))] -m^2(1/(v^2)+1/(u^2))+k^2(u^2+v^2).
(8)

这可以被重新排列成两项，每一项仅包含 u 或 v，

[1/U(1/u(dU)/(du)+(d^2U)/(du^2))+k^2u^2-(m^2)/(u^2)] +[1/V(1/v(dV)/(dv)+(d^2V)/(dv^2))+k^2v^2-(m^2)/(v^2)]
(9)

因此可以通过令第一部分等于 c，第二部分等于 -c 来分离，得到

(d^2U)/(du^2)+1/u(dU)/(du)+(k^2u^2-(m^2)/(u^2)-c)U=0
(10)
(d^2V)/(dv^2)+1/v(dV)/(dv)+(k^2v^2-(m^2)/(v^2)+c)V=0.
(11)

另请参阅

亥姆霍兹微分方程, 抛物线坐标

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参考文献

Arfken, G. "抛物线坐标 (xi,eta,phi)。" §2.12 in 物理学家数学方法，第二版 奥兰多，佛罗里达州：Academic Press，pp. 109-111, 1970。Moon, P. 和 Spencer, D. E. 场论手册，包括坐标系、微分方程及其解，第二版 纽约：Springer-Verlag，p. 36, 1988。Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 理论物理学方法，第一部分。 纽约 McGraw-Hill，pp. 514-515 和 660, 1953。

请引用为

Weisstein, Eric W. “亥姆霍兹微分方程--抛物线坐标。” 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HelmholtzDifferentialEquationParabolicCoordinates.html

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