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哈密顿映射

考虑一个一维哈密顿映射 的形式

H(p,q)=1/2p^2+V(q),
(1)

它满足哈密顿方程

q^.=(partialH)/(partialp)
(2)
p^.=-(partialH)/(partialq).
(3)

现在，写出

q^._i=((q_(i+1)-q_i))/(Deltat),
(4)

其中

q_i=q(t)
(5)
q_(i+1)=q(t+Deltat).
(6)

那么运动方程变为

q_(i+1)=q_i+p_iDeltat
(7)
p_(i+1)=p_i-Deltat((partialV)/(partialq_i))_(q=q_i).
(8)

注意方程 (7) 和 (8) 不是保面积的，因为

(partial(q_(i+1),p_(i+1)))/(partial(q_i,p_i))=|1 -Deltat(partial^2V)/(partialq_i^2); Deltat 1|
(9)
=1+(Deltat)^2(partial^2V)/(partialq_i^2)
(10)
!=1.
(11)

然而，如果我们用以下公式代替 (9) 和 (10)，

q_(i+1)=q_i+p_iDeltat
(12)
p_(i+1)=p_i-Deltat((partialV)/(partialq_i))_(q=q_(i+1))
(13)
(partial(q_(i+1),p_(i+1)))/(partial(q_i,p_i))=|1 -Deltatpartial/(partialq_i)((partialV)/(partialq))_(q=q_(i+1)); Deltat 1|
(14)
=1+(Deltat)^2(partial^2V)/(partialq_i^2)=1,
(15)

它是保面积的。

另请参阅

保面积映射

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请引用为

Weisstein, Eric W. “哈密顿映射。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HamiltonianMap.html

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