主题
Search

Graham-Pollak 序列

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram 笔记本

考虑由 递推方程 定义的序列 a_0=m 和

a_n=|_sqrt(2a_(n-1)(a_(n-1)+1))_|,
(1)

其中 |_x_| 是 向下取整函数。Graham 和 Pollak 实际上定义了 a_1=m，但为了方便起见，这里将使用索引 a_0=m，遵循 Borwein 和 Bailey (2003, p. 62)。下表总结了 m 的小数值的前几项。

mOEISa_0, a_1, ...
1A0015211, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 27, 38, 54, ...
5A0915225, 7, 10, 14, 20, 28, 40, 57, 81, 115, ...
8A0915238, 12, 17, 24, 34, 48, 68, 96, 136, 193, ...

令人惊讶的是，a_n 的显式公式，其中 a_0=m，由下式给出

a_n=|_tau_m(2^(n/2)+2^((n-1)/2))_|,
(2)

其中 tau_m 是集合 m 中的第 {1,2,3,...} union {sqrt(2),2sqrt(2),3sqrt(2),4sqrt(2),...} 中第 m 个最小的数 (Graham 和 Pollak 1970; Borwein 和 Bailey 2003, p. 63)。

现在考虑相关联的序列

b_n=a_(2n+1)-2a_(2n-1)
(3)

其值始终为 0 或 1。更令人惊讶的是，将序列 {b_k} 解释为一系列二进制位，得到一系列代数常数

alpha(m)=0.b_1b_2b_3..._2,
(4)

其中前几个常数为

alpha(1)=sqrt(2)-1
(5)
alpha(2)=sqrt(2)-1
(6)
alpha(3)=2sqrt(2)-2
(7)
alpha(4)=2sqrt(2)-2
(8)
alpha(5)=3sqrt(2)-4
(9)
alpha(6)=4sqrt(2)-5
(10)
alpha(7)=3sqrt(2)-4
(11)
alpha(8)=5sqrt(2)-7
(12)
alpha(9)=4sqrt(2)-5
(13)
alpha(10)=6sqrt(2)-8
(14)

(OEIS A091524 和 A091525; Borwein 和 Bailey 2003, p. 63)。

目前尚不清楚诸如

a_n=|_sqrt(3a_(n-1)(a_(n-1)+1))_|
(15)
a_n=|_RadicalBox[{2, {a, _, {(, {n, -, 1}, )}}, {(, {{a, _, {(, {n, -, 1}, )}}, +, 1}, )}, {(, {{a, _, {(, {n, -, 1}, )}}, +, 2}, )}}, 3]_|
(16)

之类的序列是否具有相应的性质 (Graham 和 Pollak 1970; Borwein 和 Bailey 2003, p. 63)。

在 Wolfram|Alpha 中探索

参考文献

Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Ex. 3.46 in Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.Graham, R. L. and Pollak, H. O. "Note of a Nonlinear Recurrence Related to sqrt(2)." Math. Mag. 43, 143-145, 1970.Guy, R. K. "The Strong Law of Small Numbers." Amer. Math. Monthly 95, 697-712, 1988.Rabinowitz, S. and Gilbert, P. "A Nonlinear Recurrence Yielding Binary Digits." Math. Mag. 64, 168-171, 1991.Sloane, N. J. A. Sequences A001521/M0569, A004539, A091522, A091523, A091524, 和 A091525 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Stoll, T. "On Families of Nonlinear Recurrences Related to Digits." J. Integer Sequences 8, No. 05.3.2, 1-8, 2005. http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Stoll/stoll56.pdf.Stoll, T. "On a Problem of Erdős and Graham Concerning Digits." Acta Arith. 125, 89-100, 2006.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Graham-Pollak 序列

请引用为

Weisstein, Eric W. "Graham-Pollak 序列。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Graham-PollakSequence.html

主题分类