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高斯多项式恒等式

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对于偶数 h,

1-(1-x^h)/(1-x)+((1-x^h)(1-x^(h-1)))/((1-x)(1-x^2))-((1-x^h)(1-x^(h-1))(1-x^(h-2)))/((1-x)(1-x^2)(1-x^3))+... =(1-x)(1-x^3)(1-x^5)...(1-x^(h-1))
(1)

（Nagell 1951, p. 176）。 符号表示为，

sum_(n=0)^h((-1)^nproduct_(k=0)^(n-1)(1-x^(h-k)))/(product_(k=1)^(n)(1-x^k))=product_(k=0)^(h/2-1)1-x^(2k+1),
(2)

得到

sum_(n=0)^h((-1)^n(x^h;x^(-1))_n)/((x;x)_n)=(x;x^2)_(h/2),
(3)

其中 (x;a)_n 是一个 q-波赫哈默尔符号。

例如，对于 h=2,

1-(1-x^2)/(1-x)+((1-x)(1-x^2))/((1-x)(1-x^2))=2-(1-x^2)/(1-x)=1-x,
(4)

以及对于 h=4,

1-(1-x^4)/(1-x)+((1-x^4)(1-x^3))/((1-x)(1-x^2))-((1-x^4)(1-x^3)(1-x^2))/((1-x)(1-x^2)(1-x^3))+((1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4))/((1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)) =2-(2(1-x^4))/(1-x)+((1-x^3)(1-x^4))/((1-x)(1-x^2)) =(1-x)(1-x^3).
(5)

另请参阅

高斯多项式定理, q-波赫哈默尔符号, q-级数

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参考文献

Nagell, T. "高斯多项式恒等式。" §52 in 数论导论。 New York: Wiley, pp. 174-176, 1951.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

高斯多项式恒等式

请引用为

Weisstein, Eric W. "高斯多项式恒等式。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GausssPolynomialIdentity.html

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