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扩张单子

设 X 为 始元素 的集合，设 V(^*X) 为 超结构 V(X) 的扩大。设 A in V(X) 为具有有限多个基本运算的有穷代数。则 A 的扩张单子（在 V(^*X) 中）是 ^*A 的（通常为外部的）子代数，其由下式给出

A^^= intersection {B<=^*A:B is an internal extension of A}.
(1)

可以证明，对于任何这样的代数 A，我们有

A^^= intersection {B<=^*A:B is an internal hyperfinitely generated extension of A} = union {H<=^*A:H is internally generated by a finite subset of A}
(2)

并且对于扩张单子，还有其他几个有趣的表征成立。

以下是一些涉及扩张单子的结果

1. 代数 A 是局部有限的，当且仅当 A^^=A。

2. 对于任何代数，以下是等价的：A 是有限生成的，A^^=^*A，并且 A^^ 是内部的。

3. 设 A 和 B 为代数，phi 为从 A 到 B 的函数。则 phi 是同态当且仅当 ^*phi 在 A^^ 上的限制 phi^^ 是同态。

4. 对于代数 A_1, ...A_n，我们有

product_(j=1)^nA_j^^=product_(j=1)^nA^^_j.
(3)

参见

超结构, 始元素

此条目由 Matt Insall 贡献 (作者链接)

使用 探索

参考文献

Albeverio, S.; Fenstad, J.; Hoegh-Krohn, R.; and Lindstrøom, T. Nonstandard Methods in Stochastic Analysis and Mathematical Physics. New York: Academic Press, 1986.Gehrke, M.; Kaiser, K.; and Insall, M. "Some Nonstandard Methods Applied to Distributive Lattices." Zeitschrifte für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 36, Hurd, A. E. and Loeb, P. A. An Introduction to Nonstandard Real Analysis. Orlando, FL: Academic Press, 1985.Insall, M. "Nonstandard Methods and Finiteness Conditions in Algebra." Zeitschr. f. Math., Logik, und Grundlagen d. Math. 37, 525-532, 1991.Insall, M. "Some Finiteness Conditions in Lattices Using Nonstandard Proof Methods." J. Austral. Math. Soc. 53, 266-280, 1992.Luxemburg, W. A. J. Applications of Model Theory to Algebra, Analysis, and Probability. New York: Holt, Rinehart, and Winston, 1969.Robinson, A. Nonstandard Analysis. Amsterdam, Netherlands: North-Holland, 1966.

在 中引用

扩张单子

引用为

Insall, Matt. "扩张单子。" 来自 Web 资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/ExtensionMonad.html

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