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椭圆积分奇异值 -- k_3

第三个奇异值 k_3，对应于

K^'(k_3)=sqrt(3)K(k_3),
(1)

由下式给出

k_3=sin(pi/(12))=1/4(sqrt(6)-sqrt(2)).
(2)

正如勒让德所证明的，

K(k_3)=(sqrt(pi))/(2·3^(3/4))(Gamma(1/6))/(Gamma(2/3))
(3)

(Whittaker and Watson 1990, 第 525 页)。此外，

E(k_3)=pi/(4sqrt(3))1/K+(sqrt(3)+1)/(2sqrt(3))K=1/4(pi/(sqrt(3)))^(1/2)[(1+1/(sqrt(3)))(Gamma(1/3))/(Gamma(5/6))+(2Gamma(5/6))/(Gamma(1/3))],
(4)

并且

E^'(k_3)=(pisqrt(3))/41/(K^'(k_3))+(sqrt(3)-1)/(2sqrt(3))K^'(k_3).
(5)

综上所述，

K[1/4(sqrt(6)-sqrt(2))]=(sqrt(pi))/(2·3^(3/4))(Gamma(1/6))/(Gamma(2/3))
(6)
K^'[1/4(sqrt(6)-sqrt(2))]=sqrt(3)K=(sqrt(pi))/(2·3^(1/4))(Gamma(1/6))/(Gamma(2/3))
(7)
E[1/4(sqrt(6)-sqrt(2))]=1/4(pi/(sqrt(3)))^(1/2)[(1+1/(sqrt(3)))(Gamma(1/3))/(Gamma(5/6))+(2Gamma(5/6))/(Gamma(1/3))]
(8)
E^'[1/4(sqrt(6)-sqrt(2))]=(sqrt(pi))/2[3^(3/4)(Gamma(2/3))/(Gamma(1/6))+(sqrt(3)-1)/(2·3^(3/4))(Gamma(1/6))/(Gamma(2/3))].
(9)

(Whittaker and Watson 1990)。

另请参阅

雅可比 Theta 函数

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参考文献

Ramanujan, S. "Modular Equations and Approximations to pi." Quart. J. Pure. Appl. Math. 45, 350-372, 1913-1914.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. 现代分析教程，第 4 版 英国剑桥：剑桥大学出版社，第 525-527 和 535 页，1990 年。

请引用为

Weisstein, Eric W. "椭圆积分奇异值 -- k_3。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/EllipticIntegralSingularValuek3.html

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