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椭圆切线

EllipseNormal

在椭圆上一点 P 相交 于椭圆上的另一点 Q。对应于 Q 的角度可以通过解方程求得

(P-Q)·(dP)/(dt)=0
(1)

求 t^'，其中 P(t)=(acost,bsint) 且 Q(t)=(acost^',bsint^')。这给出解

t^'=+/-cos^(-1)[+/-(N(t))/(a^4sin^2t+b^4cos^2t)],
(2)

其中

N(t)=1/2b^2cost[a^2+b^2+(b^2-a)^2cos(2t)]+a^2(a-b)(a+b)costsin^2t,
(3)

其中 (+,-) 给出有效解。将其代入以获得 Q，则给出

d(t)=|P-Q|
(4)
=(sqrt(2)ab[a^2+b^2+(b^2-a^2)cos(2t)]^(3/2))/(a^4+b^4+(b^4-a^4)cos(2t))
(5)
=(2ab(b^2cos^2t+a^2sin^2t)^(3/2))/(b^4cos^2t+a^4sin^2t).
(6)

为了找到最大距离，求导并令其等于零，

d^'(t)=(2ab(a-b)(a+b)costsintsqrt(b^2cos^2t+a^2sin^2t))/((b^4cos^2t+a^4sin^2t)^2)×(a^4sin^2t+b^4cos^2t-2a^2b^2)=0,
(7)

这简化为

a^4sin^2t+b^4cos^2t-2a^2b^2=0.
(8)

代入 sin^2t 并求解得到

cos^2t=(a^4-2a^2b^2)/(a^4-b^4)
(9)
sin^2t=(2a^2b^2-b^4)/(a^4-b^4).
(10)

将这些代入 d(t)，则给出

d_(min)=(3sqrt(3)a^2b^2)/((a^2+b^2)^(3/2)).
(11)

这个问题在 1912 年宫城县的一块算额问题木牌上给出 (Rothman 1998)。可能存在一个不需要微积分的巧妙解法，但原始作者的解法是否使用了微积分尚不清楚 (Rothman 1998)。

另请参阅

椭圆

使用 探索

参考文献

Rothman, T. "Japanese Temple Geometry." Sci. Amer. 278, 85-91, May 1998.

在 中被引用

椭圆切线

请引用为

Weisstein, Eric W. "Ellipse Tangent." 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/EllipseTangent.html

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