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色散关系

给出函数实部作为其虚部积分，以及虚部作为其实部积分的任何方程对。色散关系在物理学中暗示因果关系。令

f(x_0)=u(x_0)+iv(x_0),
(1)

则

u(x_0)=1/piPVint_(-infty)^infty(v(x)dx)/(x-x_0)
(2)
v(x_0)=-1/piPVint_(-infty)^infty(u(x)dx)/(x-x_0),
(3)

其中 PV 表示柯西主值，而 u(x_0) 和 v(x_0) 互为希尔伯特变换。如果复函数是对称的，使得 f(-x)=f^*(x)，则

u(x_0)=2/piPVint_0^infty(xv(x)dx)/(x^2-x_0^2)
(4)
v(x_0)=-2/piPVint_0^infty(x_0u(x)dx)/(x^2-x_0^2).
(5)

另请参阅

希尔伯特变换

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参考文献

Byron, F. W. Jr. 和 Fuller, R. W. 经典和量子物理学数学。纽约：Dover，页码 344, 1992。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

色散关系

请引用为

Weisstein, Eric W. “色散关系。” 来自 MathWorld-- Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DispersionRelation.html

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