立方体线段选取——面与面 -- 来自 Wolfram MathWorld

立方体线段选取——面与面

与其从立方体内部选取两个点，不如从单位立方体的不同面上选取两个点。在这种情况下，点之间的平均距离是

Delta_f(3)=4/5int_0^1int_0^1int_0^1int_0^1sqrt(x^2+y^2+(z-w)^2)dwdxdydz+1/5int_0^1int_0^1int_0^1int_0^1sqrt(1+(y-u)^2+(z-w)^2)dudwdydz
=1/(75)[4+17sqrt(2)-6sqrt(3)+21ln(1+sqrt(2))+42ln(2+sqrt(3))-7pi]
=0.92639...

(1)

（OEIS A093066；Borwein 和 Bailey 2003，第 26 页；Borwein等人 2004，第 66-67 页）。有趣的是，

(2)

正如 M. Trott 首次指出的那样（私人通讯，2008 年 3 月 21 日）。

上述两个积分可以用求和的形式写成

			(3)
			(4)

（Borwein等人 2004，第 67 页），然而，其中似乎是经典发散的，可能必须在某种正则化的意义上解释。

考虑一条线段，其端点在单位立方体的相对面上随机选取。这条线段长度的概率密度函数由下式给出

$P(l)={2l[l^2-4sqrt(l^2-1)+pi-1] for 1<=<sqrt(2); 2l[-l^2+4sqrt(l^2-2)-4sec^(-1)(sqrt(l^2-1))+pi-1] for sqrt(2)<=l<=sqrt(3)$

(5)

（Mathai 1999；简化后）。平均长度为

			(6)
			(7)

第一个偶原始矩对于、2、4、... 分别是 1、4/3、167/90、284/105、931/225、9868/1485、....

考虑一条线段，其端点在单位立方体的相邻面上随机选取。这条线段长度的概率密度函数由下式给出

$P(l)={1/2pil^2(2-l) for 0<=1; 2l[(5/4-l)pi+l^2sec^(-1)l-sqrt(l^2-1)] for 1<=<sqrt(2); 1/2l[-pil^2+4sqrt(l^2-2)+8ltan^(-1)(lsqrt(l^2-2))-16tan^(-1)(sqrt(l^2-2)) ; -8lcsc^(-1)(sqrt(2(1-l^(-2))))+4(l^2+1)csc^(-1)(sqrt(l^2-1))+3pi-4] for sqrt(2)<=l<=sqrt(3)$