立方体线段选取--面和内部

考虑在一个单位立方体内部随机选取一点与立方体表面上一点之间距离的分布。如上图所示的概率函数由 Mathai 等人 (1999) 以（近似）闭合形式找到。经过简化、更正错误和完成积分，得到了闭合形式

$P(l)={4/3l^4-2pil^2(l-1) for 0<=l<=1; 2l{1/3[(3-4sqrt(l^2-1))l^2-8sqrt(l^2-1)-6pil+6pi-1]+4l^2sec^(-1)l} for 1<l<=sqrt(2); 2l{1/3[(2sqrt(l^2-2)+3pi-3)l^2+8sqrt(l^2-2)+6pi-5] ; -4(l^2+2)tan^(-1)(sqrt(l^2-2))+4ltan^(-1)(lsqrt(l^2-2))-4lcsc^(-1)(sqrt(2-2l^(-2)))} for sqrt(2)<l<=sqrt(3).$