定义一个图的游走矩阵，该图在 
个顶点上，其 邻接矩阵 为 
，如下所示：
![W(G)=[1,A1,...,A^(n-1)1],](/images/equations/ControllableGraph/NumberedEquation1.svg) |
其中 
是一个由所有 1 组成的 
维向量。那么，如果一个图的游走矩阵是可逆的（Godsil 2012），则称该图是可控的。等价地，图是可控的 当且仅当 其游走矩阵的矩阵秩等于图的顶点计数 
。
可控图是 恒等图 (Godsil 2012)。
一个图是可控的 当且仅当 它的 图补 是可控的 (Godsil 2012)。
O'Rourke 和 Touri (2016) 证明了几乎所有图都是可控的 (Wang 和 Wang 2024)。顶点数为 
, 2, ... 的可控图的数量为 1, 0, 0, 0, 0, 8, 92, 2332, 85036, 5578994, ... (OEIS A356669; Farrugia 2016) (总结在下表中)，而连通可控图的相应数量为 1, 0, 0, 0, 0, 8, 85, 2275, 83034, 5512362, ... (OEIS A371897)。
 | # 可控图 | # 图 | 比例 |
| OEIS | A356669 | A00088 | |
| 1 | 1 | 1 | 100% |
| 2 | 0 | 2 | 0% |
| 3 | 0 | 4 | 0% |
| 4 | 0 | 11 | 0% |
| 5 | 0 | 34 | 0% |
| 6 | 8 | 156 | 5.13% |
| 7 | 92 | 1044 | 8.81% |
| 8 | 2332 | 12346 | 18.9% |
| 9 | 85036 | 274668 | 31.0% |
| 10 | 5578994 | 12005168 | 46.5% |
上面展示了 6 个顶点的八个可控图。
顶点计数为 
的图，如果其游走矩阵的矩阵秩等于 
，则称该图为几乎可控 (Wang et al. 2021, Wang 和 Wang 2024)。
