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Beta 指数函数

BetaExp

另一个用积分定义的“beta 函数”是“指数”beta 函数，定义为

beta_n(z)=int_(-1)^1t^ne^(-zt)dt
(1)
=n!z^(-(n+1))[e^zsum_(k=0)^(n)((-1)^kz^k)/(k!)-e^(-z)sum_(k=0)^(n)(z^k)/(k!)].
(2)

如果 n 是一个整数，则

beta_n(z)=(-1)^(n+1)E_(-n)(-z)-E_(-n)(z),
(3)

其中 E_n(z) 是 En-函数。 指数 beta 函数满足 递推关系

zbeta_n(z)=(-1)^ne^z-e^(-z)+nbeta_(n-1)(z).
(4)

当 n=0, 1 和 2 时的值是

beta_0(z)=(2sinhz)/z
(5)
beta_1(z)=(2(sinhz-zcoshz))/(z^2)
(6)
beta_2(z)=(2(2+z^2)sinhz-4zcoshz)/(z^3).
(7)

另请参阅

Alpha 函数, En-函数

使用 Wolfram|Alpha 探索

请引用为

Weisstein, Eric W. “Beta 指数函数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BetaExponentialFunction.html

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