伯恩斯坦常数

设是函数实函数在区间上用至多阶实多项式进行最佳一致逼近的误差。如果

(1)

那么伯恩斯坦证明了

(2)

他推测下限 () 是。然而，Varga 和 Carpenter (1987) 以及 Varga (1990) 证伪了这一点，他们计算出

(3)

对于次数分别为和的有理逼近对于和 , D. J. Newman (1964) 证明了

(4)

对于。Gonchar (1967) 和 Bulanov (1975) 将下限提高到

(5)

Vjacheslavo (1975) 证明了存在正的常数和使得

(6)

(Petrushev 1987, pp. 105-106)。Varga 等人 (1993) 推测并且 Stahl (1993) 证明了

(7)

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参考文献

Bernstein, S. N. "关于

用给定次数的多项式进行最佳逼近。" Acta Math. 37, 1-57, 1913.Bulanov, A. P. "函数 Sign

的最佳有理逼近的渐近性。" Mat. Sbornik 96, 171-178, 1975. 英文翻译刊登于 Math. USSR Sbornik 5, 275-290, 1968.Finch, S. R. "伯恩斯坦常数。" §4.4 in 数学常数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 257-259, 2003.Gonchar, A. A. "有理函数增长的估计及其应用。" Mat. Sbornik 72, 489-503, 1967.Newman, D. J. "

的有理逼近。" Michigan Math. J. 11, 11-14, 1964.Petrushev, P. P. and Popov, V. A. 实函数的有理逼近。 New York: Cambridge University Press, 1987.Stahl, H. "

在

上的最佳一致有理逼近。" Russian Acad. Sci. Sb. Math. 76, 461-487, 1993.Stahl, H. 的一致有理逼近。 New York: Springer-Verlag, pp. 110-130, 1993.Varga, R. S. 数学问题和猜想的科学计算。 Philadelphia, PA: SIAM, 1990.Varga, R. S. and Carpenter, A. J. "关于逼近理论中 S. Bernstein 的一个猜想。" Math. USSR Sbornik 57, 547-560, 1987.Varga, R. S.; Ruttan, A.; and Carpenter, A. J. "