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鲍尔恒等同余

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令 T(m) 表示小于且与 m 互质的 phi(m) 个数的集合，其中 phi(n) 是欧拉函数。定义

f_m(x)=product_(t in T(m))(x-t).
(1)

那么拉格朗日定理指出

f_p(x)=x^(phi(p))-1 (mod p)
(2)

对于 p 奇素数 (Hardy and Wright 1979, p. 98)。 实际上，这种关系也适用于一些合数值。 适用此关系的值为 n=1, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (OEIS A158008)。

这可以推广如下。 令 p 为 m 的奇素数因子，且 p^a 为整除 m 的最高次幂，则

f_m(x)=(x^(p-1)-1)^(phi(m)/(p-1)) (mod p^a)
(3)

特别地，

f_(p^a)(x)=(x^(p-1)-1)^(p^(a-1)) (mod p^a).
(4)

现在，如果 m>2 是偶数且 2^a 是整除 m 的 2 的最高次幂，则

f_m(x)=(x^2-1)^(phi(m)/2) (mod 2^a)
(5)

特别地，

f_(2^a)(x)=(x^2-1)^(2^(a-2)) (mod 2^a).
(6)

另请参阅

同余, Leudesdorf 定理

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参考文献

Bauer. Nouvelles annales 2, 256-264, 1902.Hardy, G. H. and Wright, E. M. J. London Math. Soc. 9, 38-41 and 240, 1934.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "Bauer's Identical Congruence." §8.5 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 98-100, 1979.Sloane, N. J. A. Sequence A158008 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 中被引用

鲍尔恒等同余

请引用为

Weisstein, Eric W. "鲍尔恒等同余。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BauersIdenticalCongruence.html

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