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Barnes-Wall 格

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Barnes-Wall 格是一个 d 维格，当 d 是 2 的幂时存在。它在 Wolfram 语言 中实现为LatticeData[{"BarnesWall", n}].

特殊情况总结在下表中。

d格
2正方格 Z^2
4根格 D_4
8根格 E_8
16层状格 L_(16,1)

自同构群的阶数为

{696729600 for d=3; 2^(d^2+d+1)(2^d-1)product_(i=1)^(d-1)(2^(2i)-1) otherwise,
(1)

给出前几项为 2, 8, 1152, 696729600, 89181388800, 48126558103142400, ... (OEIS A014116)。

16 维 Barnes-Wall 格可以从 Leech 格 Lambda_(24) 构造而来。

对于不同阶数 d 的格，其 theta 级数生成函数总结在下表中。

dtheta 级数生成函数
2theta_3^2(q)
41/2[theta_3^4(q)+theta_4^4(q)]
81/2[theta_2^8(q)+theta_3^8(q)+theta_4^8(q)]
161/2[theta_2^(16)(q)+theta_3^(16)(q)+theta_4^(16)(q)+30theta_2^8(q)theta_3^8(q)]

下表给出了 theta 级数本身。

dOEIStheta 级数
2A0040181+4q+4q^2+4q^4+8q^5+4q^8+4q^9+8q^(10)+...
4A0040111+24q^2+24q^4+96q^6+24q^8+144q^(10)+...
8A0040091+240q^2+2160q^4+6720q^6+17520q^8+30240q^(10)+...
16A0084091+4320q^2+61440q^3+522720q^4+2211840q^5+...

另请参阅

Coxeter-Todd 格, 格点, Leech 格

在 Wolfram|Alpha 中探索

参考文献

Barnes, E. S. 和 Wall, G. E. "Some Extreme Forms Defined in Terms of Abelian Groups." J. Austral. Math. Soc. 1, 47-63, 1959.Conway, J. H. 和 Sloane, N. J. A. "16 维 Barnes-Wall 格 Lambda_(16)。" §4.10 in Sphere Packings, Lattices, and Groups, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 127-129, 1993.Sloane, N. J. A. 序列 A004009/M5416,A004011/M5140, A004018, A008409, 和 A014116 in "整数序列在线百科全书"。Wall, G. E. "On the Clifford Collineation." Nagoya Math. J. 21, 199-222, 1962.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Barnes-Wall 格

引用为

Weisstein, Eric W. "Barnes-Wall 格。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Barnes-WallLattice.html

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