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阿贝尔-普拉纳公式

阿贝尔-普拉纳公式给出了离散和与其对应积分之间差异的表达式。该公式可以从辐角原理推导得出。

∮_gammaf(z)(g^'(z))/(g(z))dz=sum_(n)f(mu_n)-sum_(m)f(nu_m),
(1)

其中 mu_n 是 g(z) 的零点，nu_m 是包含在轮廓 gamma 内的极点。 g 和 gamma 的适当选择然后得到

sum_(n=0)^inftyf(n)-int_0^inftyf(x)dx=1/2f(0)-1/2int_0^infty[f(it)-f(-it)][cot(piit)+i]dt,
(2)

或等价地

sum_(n=0)^inftyf(n)-int_0^inftyf(x)dx=1/2f(0)+iint_0^infty(f(it)-f(-it))/(e^(2pit)-1)dt.
(3)

该公式在涉及量子化模式和自由模式之间差异的卡西米尔效应计算中特别有用。

参见

辐角原理

此条目由 David Anderson 贡献。

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参考文献

Mostepanenko, V. M. and Trunov, N. N. §2.2 in The Casimir Effect and Its Applications. Oxford, England: Clarendon Press, 1997.Saharian, A. A. "The Generalized Abel-Plana Formula. Applications to Bessel Functions and Casimir Effect." http://www.ictp.trieste.it/~pub_off/preprints-sources/2000/IC2000014P.pdf.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

阿贝尔-普拉纳公式

引用为

Anderson, David. "阿贝尔-普拉纳公式." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/Abel-PlanaFormula.html

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