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范德瓦尔登定理

范德瓦尔登定理是关于集合中等差数列存在性的定理。该定理可以用四种等价形式陈述。

1. 如果 N=C_1 union C_2 union ... union C_r，则某些 C_i 包含任意长的等差数列（博德猜想）。

2. 对于所有正整数 k 和 r，存在一个常数 n(k,r)，使得如果 n_0>=n(k,r) 且 {1,2,...,n_0} subset C_1 union C_2 union ... union C_r，则某些集合 C_i 包含长度为 k 的等差数列。

3. 如果 {a_0,a_1,...} 是一个满足 0<a_(k+1)-a_k<r 对于某些 r 的整数无限序列，则该序列包含任意长的等差数列。

4. 对于所有正整数 k 和 r，存在一个常数 g(k,r)，使得如果 g_0>=g(k,r) 且 a_1, a_2, ..., a_(g_0) 满足 0<a_(i+1)-a_i<=r，则 k 个数 a_1, a_2, ..., a_(g_0) 成等差数列。

常数 n(k,r) 被称为 范德瓦尔登数，并且 n(k,r) 的公式是未知的。范德瓦尔登定理是 塞迈雷迪定理的推论。

参见

等差数列, 博德猜想, 塞迈雷迪定理, 范德瓦尔登数

此条目由 Kevin O'Bryant 贡献

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参考文献

de Bruijn, N. G. "Commentary." Unpublished manuscript, pp. 116-124, 1977. http://alexandria.tue.nl/repository/freearticles/598841.pdf.Guy, R. K. "Theorem of van der Waerden, Szemerédi's Theorem. Partitioning the Integers into Classes; at Least One Contains an A.P." §E10 in Unsolved Problems in Number Theory, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 317-323, 2004.Honsberger, R. More Mathematical Morsels. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 29, 1991.Khinchin, A. Y. "Van der Waerden's Theorem on Arithmetic Progressions." Ch. 1 in Three Pearls of Number Theory. New York: Dover, pp. 11-17, 1998.van der Waerden, B. L. "Beweis einer Baudetschen Vermutung." Nieuw Arch. Wisk. 15, 212-216, 1927.van der Waerden, B. L. "How the Proof of Baudet's Conjecture Was Found." Studies in Pure Mathematics (Presented to Richard Rado). London: Academic Press, pp. 251-260, 1971.van der Waerden, B. L. "Wie der Beweis der Vermutung von Baudet gefunden wurde." Elem. Math. 53, 139-148, 1998.

在 上被引用

范德瓦尔登定理

请引用为

O'Bryant, Kevin. "van der Waerden's Theorem." 来自 Web 资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/vanderWaerdensTheorem.html

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