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杨氏不等式

令 f 为定义在 [0,c] 上的实值、连续且严格递增的函数，其中 c>0。如果 f(0)=0, a in [0,c], 且 b in [0,f(c)], 则

int_0^af(x)dx+int_0^bf^(-1)(x)dx>=ab,
(1)

其中 f^(-1) 是 反函数 f。等号成立当且仅当 当且仅当 b=f(a)。

取特殊函数 f(x)=x^(p-1) 得到特殊情况

(a^p)/p+((p-1)/p)b^(p/(p-1))>=ab,
(2)

这通常写成对称形式

(a^p)/p+(b^q)/q>=ab,
(3)

其中 a,b>=0, p>1, 和

1/p+1/q=1.
(4)

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参考文献

Cooper, R. "Notes on Certain Inequalities. I." J. London Math. Soc. 2, 17-21, 1927.Cooper, R. "Notes on Certain Inequalities. II." J. London Math. Soc. 2, 159-163, 1927.Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; and Pólya, G. "A Theorem of W. H. Young." §8.3 in Inequalities, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 198-200, 1988.Mitrinović, D. S. "Young's Inequality." §2.7 in Analytic Inequalities. New York: Springer-Verlag, pp. 48-50, 1970.Oppenheim, A. "Note on Mr. Cooper's Generalization of Young's Inequality." J. London Math. Soc. 2, 21-23, 1927.Riesz, F. "Su alcune disuguaglianze." Boll. Un. Mat. Ital. 7, 77-79, 1928.Takahashi, T. "Remarks on Some Inequalities." Tôhoku Math. J. 36, 99-106, 1932.Young, W. H. "On Classes of Summable Functions and Their Fourier Series." Proc. Roy. Soc. London Ser. A 87, 225-229, 1912.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

杨氏不等式

引用为

Weisstein, Eric W. "杨氏不等式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/YoungsInequality.html

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