设 
为一个 并闭集，则并闭集猜想指出，存在一个元素，它至少属于 
个 
中的集合。Sarvate 和 Renaud (1989) 表明，如果 
，其中 
是 
中最小的集合，或者如果 
，则该猜想成立。他们还表明，如果该猜想不成立，则 
，其中 
是 
中最大的集合。
此后，对于 
最大到 18 (Sarvate 和 Renaud 1990)、24 (Lo Faro 1994a)、27 (Poonen 1992)、32 (Gao 和 Yu 1998) 以及已知的最佳结果 40 (Roberts 1992)，这些结果得到了改进。
对于 
具有 2-元素集合的情况，证明可以如下进行。令 
，然后根据集合与 
的交集是 
、
、
还是 
，将 
的集合划分为四个不相交的族 
、
、
和 
。由此得出 
，通过与 
取并集得到，其中 
是 基数 
。现在比较 
和 
。如果 
，则 
，因此 
至少在 
的一半集合中。类似地，如果 
，则 
至少在一半的集合中（Hoey，私人通讯）。
遗憾的是，这种证明方法不能扩展到 
，因为 Sarvate 和 Renaud 展示了一个 并闭集 的例子，其中 
，
、
、
都不在集合的一半中。然而，在这些情况下，存在其他元素确实出现在集合的一半中，因此这不是对该猜想的反例，而只是对上述证明方法的限制（Hoey，私人通讯）。
