Steffi 问题

2003 年 1 月，Steffi 的数学课上提出了一个家庭作业问题，要求学生证明，通过排列数字 1, 2, ..., 7 的所有数字而获得的任意两个不相等数字的比率都不会得到整数。如果存在这样的比率 ，那么 1234567 的某种排列必须能被 整除。 可以立即被限制在 ，因为前七个数字的两个排列的比率必须小于 ，并且声明排列是不相等的，所以 。r=3 的情况可以通过 整除性检验 来排除，该检验表明一个数字能被 3 整除当且仅当其各位数字之和能被 3 整除。由于数字 1 到 7 的总和是 28，不能被 3 整除，因此这些数字的任何排列都不能被 3 整除。这也排除了 的可能性，因为一个数字必须能被 3 整除才能被 6 整除。

这仅剩下 、4 和 5 的情况需要考虑。 的情况可以排除，因为为了能被 5 整除，分子和分母的最后一位数字必须分别为 5 和 1

(1)

那么，可以获得的最大可能比率将使用分子中最大的可能数字和分母中最小的可能数字，即

(2)

但是 ，所以不可能构造一个能被 5 整除的分数。因此，现在只需要考虑 和 4。

一般来说，考虑所有数字 在基数 () 的不相等排列对的数量，其比率为整数。那么存在一个唯一的 解

(3)

一个唯一的 解

(4)

三个 解

			(5)
			(6)
			(7)

等等。

下表总结了前几个基数和数字位数 的解的数量 (OEIS A080202)。

	数字 , , ..., 的解
3	0
4	0, 1
5	0, 0, 1
6	0, 0, 3, 25
7	0, 0, 0, 2, 7
8	0, 0, 0, 0, 68, 623
9	0, 0, 0, 0, 0, 124, 1183
10	0, 0, 0, 0, 0, 0, 2338, 24603
11	0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 598, 5895
12	0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 161947, 2017603

从表中可以看出，在基数 10 中，唯一的解是对于数字 12345678 和 123456789。在 的解中，有两个解对于相同的分子产生三个不同的整数

			(8)
			(9)

从列表中取对角线项 ，对于 , 4, ...，得到序列 0, 1, 1, 25, 7, 623, 1183, 24603, ... (OEIS A080203)。