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球面嵌入

一个 4-球体具有正曲率，其中

R^2=x^2+y^2+z^2+w^2
(1)
2x(dx)/(dw)+2y(dy)/(dw)+2z(dz)/(dw)+2w=0.
(2)

由于

r=xx^^+yy^^+zz^^
(3)
dw=-(xdx+ydy+zdz)/w
(4)
=-(r·dr)/(sqrt(R^2-r^2)).
(5)

为了保持在球体表面，

ds^2=dx^2+dy^2+dz^2+dw^2
(6)
=dx^2+dy^2+dz^2+(r^2dr^2)/(R^2-r^2)
(7)
=dr^2+r^2dOmega^2+(dr^2)/((R^2)/(r^2)-1)
(8)
=dr^2(1+1/((R^2)/(r^2)-1))+r^2dOmega^2
(9)
=dr^2(((R^2)/(r^2))/((R^2)/(r^2)-1))+r^2dOmega^2
(10)
=(dr^2)/(1-(r^2)/(R^2))+r^2dOmega^2.
(11)

加上所谓的膨胀参数，这就是罗伯逊-沃克线元。

请引用为

韦斯坦因，埃里克·W. “球面嵌入。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SphereEmbedding.html