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简谐运动--二次扰动

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给定一个带有二次扰动的简谐振子，将扰动项写成 alphaepsilonx^2,

x^..+omega_0^2x-alphaepsilonx^2=0,
(1)

使用微扰方法找到一阶解。写成

x=x_0+epsilonx_1+...,
(2)

并代回 (1) 式，合并同类项得到

(x^.._0+omega_0^2x_0)+(x^.._1+omega_0^2x_1-alphax_0^2)epsilon+2alphax_0epsilon^2+....
(3)

为了解这个方程，仅保留到 epsilon^2 阶的项，并注意到，由于该方程必须对 powers of epsilon 的所有幂次都成立，我们可以将其分离成两个联立的微分方程

x^.._0+omega_0^2x_0=0
(4)
x^.._1+omega_0^2x_1=alphax_0^2.
(5)

设定我们的时钟使得 x_0(0)=0，则 (4) 式的解为

x_0=Acos(omega_0t).
(6)

将这个解代回 (5) 式，得到

x^.._1+omega_0^2x_1=alphaA^2cos^2(omega_0t).
(7)

该方程可以求解得到

x_1=(alphaA^2)/(6omega_0^2)[3-cos(2omega_0t)]+C_1cos(omega_0t)+C_2sin(omega_0t),
(8)

将 x_0 和 x_1 组合得到

x(t)=x_0+epsilonx_1
(9)
=Acos(omega_0t)-(alphaA^2)/(6omega_0^2)epsilon[cos(2omega_0t)-3],
(10)

其中，与来自 x_0 的较大项相比，阶数为 epsilon 的正弦和余弦项（来自 x_1）已被忽略。

SHOPerturbed

正如在上面的顶部图中可以看到的那样，该解仅在 epsilon<<1 时近似于 x(t)。正如较低的图所示，即使对于相对较小的 epsilon 值，与未扰动振荡器的差异也会随着时间推移而增大。

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请引用为

Weisstein, Eric W. “简谐运动--二次扰动。” 来自 网络资源。 https://mathworld.net.cn/SimpleHarmonicMotionQuadraticPerturbation.html

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