分配问题

一个问题，也称为点数问题或未完成的游戏。考虑一个涉及 名玩家重复进行同一游戏的锦标赛。每场比赛只有一个获胜者，用 表示玩家 在某个时刻 赢得的比赛次数。比赛是独立的，玩家 赢得比赛的概率是 。锦标赛规定要持续到一名玩家赢得 场比赛为止。如果锦标赛在任何玩家赢得 场比赛之前中止，以至于 对于 , ..., ，奖金应如何分配，以便根据玩家获胜的机会按比例分配？

对于玩家 ，将剩余需要赢得的比赛数 称为“配额”。对于两名玩家，设 和 为单场比赛的获胜概率， 和 为每位玩家赢得锦标赛所需的比赛数。那么，赌注应按比例 分配，其中

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(Kraitchik 1942年)。

如果 名玩家获胜概率相等（“单元概率”），那么玩家 在配额 , ..., 下获胜的几率是

(3)

其中 是 2D 型 狄利克雷积分。同样，玩家 失败的几率是

(4)

其中 是 2C 型 狄利克雷积分。如果单元配额不相等，则必须使用一般狄利克雷积分 ，其中

(5)

如果 且 ，那么 和 简化为 ，这是必然的。设 为联合概率，即如果比赛完成，玩家将按照参数列表中的 s 顺序进行 统计排名。对于 ，

(6)

对于 ，配额向量为 且 ，

(7)

Sobel 和 Frankowski (1994, p. 838) 给出了 的表达式。