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Ruth-Aaron 数对

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Ruth-Aaron 数对是一对连续的数字 (n,n+1) 使得 素因子 的和 n 和 n+1 相等。 它们的命名灵感来源于 (714, 715) 这对数字，它们分别对应于汉克·阿伦在 1974 年 4 月 8 日打破纪录的第 715 次本垒打，打破了贝比·鲁斯早先的 714 次记录 (Pomerance 2002; Hoffman 1998, pp. 179-181)。 它们的因式分解为

714=2·3·7·17
(1)
715=5·11·13,
(2)

并且 2+3+7+17=5+11+13=29。

如果不计算重数（例如，2^3 的因子只算作一个 2），那么给出 Ruth-Aaron 数对的前几个 ns 是 5, 24, 49, 77, 104, 153, 369, 492, 714, 1682, ... (OEIS A006145)，对应的和为 5, 5, 7, 18, 15, 20, 44, 46, 29, ... (OEIS A006146)。

如果计算重数（例如，2^3 的因子算作 2·2·2），那么给出 Ruth-Aaron 数对的前几个 ns 是 5, 8, 15, 77, 125, 714, 948, ... (OEIS A039752)，对应的和为 5, 6, 8, 18, 15, 29, 86, ... (OEIS A054378)。 小于 10^1 的这种 n 的数量，2, ... 是 2, 4, 7, 20, 57, 149, 523, ... (OEIS A101805)。

Nelson 等人 (1974) 表明，辛泽尔关于多项式同时素数值的猜想，即所谓的“辛泽尔假设 H”，将意味着存在无限多个 Ruth-Aaron 数对。 尽管霍夫曼声称埃尔德什给出了一个错误的证明 (1998, pp. 180-181)，但这个猜想仍然是开放的 (Pomerance 2002)。

Nelson 等人 (1974) 还推测 Ruth-Aaron 数对是稀疏的（即密度为 0），这个猜想后来被 Erdős 和 Pomerance (1978) 证明，他们表明如果 Ruth-Aaron 数定义为数字 n 使得 S(n)=S(n+1) 其中 S(n) 是 n 的素因子之和（计入重数），那么小于 x 的 Ruth-Aaron 数的数量是

O(xlnlnxlnlnlnx/lnx)
(3)

这可以改进为 O(x/lnx)。 Pomerance (2002) 随后将这个界限改进为

O(x(lnlnx)^4/(lnx)^2),
(4)

因此，确定了 Ruth-Aaron 数的倒数之和是有界的这一事实。 事实上，

sum_(n is a Ruth-Aaron number)1/n approx 0.4207.
(5)

另请参阅

棒球, 赛伯计量学

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参考文献

Babai, L.; Pomerance, C. and Vértesi, P. "The Mathematics of Paul Erdős." Notices Amer. Math. Soc. 45, 19-23, 1998.Drost, J. L. "Ruth/Aaron Pairs." J. Recr. Math. 28, No. 2, pp. 120-122.Erdős, P. and Pomerance, C. "On the Largest Prime Factors of n and n+1." Aeq. Math. 17, 311-321, 1978.Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, 1998.Mackenzie, D. "Mathematics: Homage to an Itinerant Master." Science 275, 759, 1997.Nelson, C.; Penney, D. E.; and Pomerance, C. "714 and 715." J. Recr. Math. 7, 87-89, 1974.Peterson, I. "Ivars Peterson's MathLand: Playing with Ruth-Aaron Pairs." http://www.maa.org/mathland/mathland_6_30.html.Peterson, I. "MathTrek: Playing with Ruth-Aaron Pairs." Sci. News 168, Aug. 6, 2005. http://www.sciencenews.org/articles/20050806/mathtrek.asp.Pomerance, C. "Ruth-Aaron Numbers Revisited." In Paul Erdős and his Mathematics. I. Papers from the Conference Held in Budapest, July 4-11, 1999 (Ed. G. Halász, L. Lovász, M. Simonovits, and V. T. Sós). Berlin: Springer-Verlag, pp. 567-579, 2002. http://cm.bell-labs.com/cm/ms/who/carlp/PS/aaron6.ps.Sloane, N. J. A. Sequences A006145, A006146, A039752, A054378, and A101805 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 中引用

Ruth-Aaron 数对

引用为

Weisstein, Eric W. "Ruth-Aaron 数对。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Ruth-AaronPair.html

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