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拉马努金求和恒等式

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给定由以下定义的生成函数

(1+53x+9x^2)/(1-82x-82x^2+x^3)=sum_(n=1)^(infty)a_nx^n
(1)
(2-26x-12x^2)/(1-82x-82x^2+x^3)=sum_(n=0)^(infty)b_nx^n
(2)
(2+8x-10x^2)/(1-82x-82x^2+x^3)=sum_(n=0)^(infty)c_nx^n
(3)

(OEIS A051028、A051029 和 A051030)，则

a_n^3+b_n^3=c_n^3+(-1)^n.
(4)

Hirschhorn (1995) 证明了

a_n=1/(85)[(64+8sqrt(85))alpha^n+(64-8sqrt(85))beta^n-43(-1)^n]
(5)
b_n=1/(85)[(77+7sqrt(85))alpha^n+(77-7sqrt(85))beta^n+16(-1)^n]
(6)
c_n=1/(85)[(93+9sqrt(85))alpha^n+(93-9sqrt(85))beta^n-16(-1)^n],
(7)

其中

alpha=1/2(83+9sqrt(85))
(8)
beta=1/2(83-9sqrt(85)).
(9)

Hirschhorn (1996) 证明了检验前七种情况 n=0 到 6 足以证明结果。

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Hirschhorn, M. D. “拉马努金的一个惊人恒等式。”数学杂志68, 199-201, 1995。Hirschhorn, M. D. “Zeilberger 精神证明的拉马努金的一个惊人恒等式。”数学杂志69, 267-269, 1996。Sloane, N. J. A. “整数序列在线百科全书”中的序列 A051028、A051029 和 A051030。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

拉马努金求和恒等式

请引用为

Weisstein, Eric W. “拉马努金求和恒等式。”来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。https://mathworld.net.cn/RamanujansSumIdentity.html

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