主题
Search

平面空间

设 (xi_1,xi_2) 为局部欧几里得坐标系。则

ds^2=dxi_1^2+dxi_2^2.
(1)

现在代入

dxi_1=(partialxi_1)/(partialx_1)dx_1+(partialxi_1)/(partialx_2)dx_2
(2)
dxi_2=(partialxi_2)/(partialx_1)dx_1+(partialxi_2)/(partialx_2)dx_2
(3)

得到

ds^2=[((partialxi_1)/(partialx_1))^2+((partialxi_2)/(partialx_1))^2]dx_1^2+2[(partialxi_1)/(partialx_1)(partialxi_1)/(partialx_2)+(partialxi_2)/(partialx_1)(partialxi_2)/(partialx_2)]dx_1dx_2+[((partialxi_1)/(partialx_2))^2+((partialxi_2)/(partialx_2))^2]dx_2^2.
(4)

从以下公式读出系数

ds^2=g_(11)dx_1^2+2g_(12)dx_1dx_2+g_(22)dx_2^2
(5)

得到

g_(11)=((partialxi_1)/(partialx_1))^2+((partialxi_2)/(partialx_1))^2
(6)
g_(12)=(partialxi_1)/(partialx_1)(partialxi_1)/(partialx_2)+(partialxi_2)/(partialx_1)(partialxi_2)/(partialx_2)
(7)
g_(22)=((partialxi_1)/(partialx_2))^2+((partialxi_2)/(partialx_2))^2.
(8)

进行坐标变换 (x_1,x_2)->(x_1^',x_2^') 得到

g_(11)^'=((partialxi_1)/(partialx_1^'))^2+((partialxi_2)/(partialx_1^'))^2
(9)
=((partialxi_1)/(partialx_1)(partialx_1)/(partialx_1^')+(partialxi_1)/(partialx_2)(partialx_2)/(partialx_1^'))^2+((partialxi_2)/(partialx_1)(partialx_1)/(partialx_1^')+(partialxi_2)/(partialx_2)(partialx_2)/(partialx_1^'))^2
(10)
=g_(11)((partialx_1)/(partialx_1^'))^2+2g_(12)(partialx_1)/(partialx_1^')(partialx_2)/(partialx_1^')+g_(22)((partialx_2)/(partialx_1^'))^2
(11)
g_(12)^'=(partialxi_1)/(partialx_1)(partialx_1)/(partialx_1^')(partialxi_1)/(partialx_2)(partialx_2)/(partialx_2^')+(partialxi_2)/(partialx_1)(partialx_1)/(partialx_1^')(partialxi_2)/(partialx_2)(partialx_2)/(partialx_2^')
(12)
=g_(12)(partialx_1)/(partialx_1^')(partialx_2)/(partialx_2^')
(13)
g_(22)^'=g_(11)((partialx_1)/(partialx_1^'))^2+2g_(12)(partialx_1)/(partialx_2^')(partialx_2)/(partialx_2^')+g_(22)((partialx_2)/(partialx_2^'))^2.
(14)

使用 Wolfram|Alpha 探索

请引用为

Weisstein, Eric W. "平面空间。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PlanarSpace.html

主题分类