主题
Search

尼文常数

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook

给定一个 正整数 m>1，设其素数分解为

m=p_1^(a_1)p_2^(a_2)p_3^(a_3)...p_k^(a_k).
(1)

定义函数 h(n) 和 H(n) 为 h(1)=1, H(1)=1, 以及

h(m)=min(a_1,a_2,...,a_k)
(2)
H(m)=max(a_1,a_2,...,a_k).
(3)

h(m) 的前几项是 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, ... (OEIS A051904)，而 H(m) 的前几项是 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, ... (OEIS A051903)。

NivensConstantMin

那么 h(m) 的平均值趋于

lim_(n->infty)1/nsum_(m=1)^nh(m)=1.
(4)

这里，运行平均值由 1/2, 2/3, 3/4, 1, 1, 1, 1, 11/9, 13/10, 14/11, 5/4, 16/13, ... (OEIS A086195 和 A086196) 给出。

NivensConstantMinScaled

此外，比率

lim_(n->infty)(sum_(m=1)^(n)h(m)-n)/(sqrt(n))=(zeta(3/2))/(zeta(3)),
(5)

其中 zeta(z) 是 黎曼zeta函数 (Niven 1969)。

NivensConstantMax

尼文 (1969) 也证明了

lim_(n->infty)1/nsum_(m=1)^nH(m)=C,
(6)

其中尼文常数 C 由下式给出

C=1+{sum_(j=2)^infty[1-1/(zeta(j))]}=1.705211...
(7)

(OEIS A033150)。这里，运行平均值由 1/2, 2/3, 3/4, 1, 1, 1, 1, 11/9, 13/10, 14/11, 5/4, 17/13, ... (OEIS A086197 和 A086198) 给出。

尼文常数的连分数是 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 3, 4, 4, 8, 4, 1, ... (OEIS A033151)。数字 1, 2, ... 首次出现在连分数中的位置是 1, 3, 10, 7, 47, 41, 34, 13, 140, 252, 20, ... (OEIS A033152)。连分数中最大项的序列是 1, 2, 4, 8, 11, 14, 29, 372, 559, ... (OEIS A033153)，它们出现在位置 1, 3, 7, 13, 20, 35, 51, 68, 96, ... (OEIS A033154)。

使用 探索

参考文献

Finch, S. R. "尼文常数。" §2.6 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 112-115, 2003.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 41, 1983.Niven, I. "整数因子分解中指数的平均值。" Proc. Amer. Math. Soc. 22, 356-360, 1969.Sloane, N. J. A. "整数序列在线百科全书" 中的序列 A033150, A033151, A033152, A033153, A033154, A051903, A051904, A086195, A086196, A086197, and A086198.

在 中被引用

尼文常数

引用为

Weisstein, Eric W. "尼文常数。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/NivensConstant.html

主题分类