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希尔伯特不等式

给定一个正 序列 {a_n}，

sqrt(sum_(j=-infty)^infty|sum_(n=-infty; n!=j)^infty(a_n)/(j-n)|^2)<=pisqrt(sum_(n=-infty)^infty|a_n|^2),
(1)

其中 a_n 是实数且“平方可和”。

另一个被称为希尔伯特不等式适用于非负序列 {a_n} 和 {b_n}，

sum_(m=1)^inftysum_(n=1)^infty(a_mb_n)/(m+n)<picsc(pi/p)(sum_(m=1)^inftya_m^p)^(1/p)(sum_(n=1)^inftyb_n^q)^(1/q)
(2)

除非所有 a_n 或所有 b_n 均为 0。如果 f(x) 和 g(x) 是非负可积函数，则积分形式为

int_0^inftyint_0^infty(f(x)g(y))/(x+y)dxdy<picsc(pi/p) ×(int_0^infty[f(x)]^pdx)^(1/p)(int_0^infty[g(x)]^qdx)^(1/q).
(3)

常数 picsc(pi/P) 是最佳可能的，因为可以为任何更小的值构造反例。

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参考文献

Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; 和 Pólya, G. “希尔伯特双级数定理”和“关于希尔伯特不等式”。§9.1 和附录 III 见Inequalities, 2nd ed. 剑桥，英格兰：剑桥大学出版社，第 226-227 和 308-309 页，1988 年。

在 Wolfram|Alpha 上引用

希尔伯特不等式

引用为

Weisstein, Eric W. “希尔伯特不等式”。来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HilbertsInequality.html

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