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希尔伯特 C*-模

希尔伯特 C^*-模的概念是 希尔伯特空间 概念的推广。Kaplansky (1953) 首次使用了这类对象。对希尔伯特 C^*-模的研究始于 1970 年代，Rieffel (1974) 对 C^*-代数的诱导表示的工作以及 Paschke (1973) 的博士论文。希尔伯特 C^*-模是 AW^*-代数理论、算子代数理论、算子 K-理论、群表示理论和算子空间理论中的有用工具。它也用于研究 C^*-代数的 Morita 等价性、K-理论的 C^*-代数、C^*-代数量子群（Lance 1995，Wegge-Olsen 1993）。

在 C^*-代数 A 上的预希尔伯特模是一个复线性空间 E，它是一个左 A-模（且 lambda(ax)=(lambdaa)x=a(lambdax)，其中 lambda in C, a in A, 和 x in E），配备了一个 A-值内积 <·,·>:E×E->A，满足

1. <x,x>>=0,

2. <x,x>=0 当且仅当 x=0,

3. <x+lambday,z>=<x,z>+lambda<y,z>,

4. <y,x>=<x,y>^*,

5. <ax,y>=a<x,y>.

预希尔伯特 A-模被称为希尔伯特 A-模或希尔伯特 C^*-模（在 A 上），如果它关于范数 ||x||=||<x,x>||^(1/2) 是完备的。如果集合 {<x,y>:x,y in E} 的闭线性张成在 A 中稠密，则 E 被称为满的。例如，每个 C^*-代数 A 都是一个满的希尔伯特 A-模，只要我们定义 <x,y>=xy^*。

参见

希尔伯特空间

此条目由 Mohammad Sal Moslehian 贡献

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参考文献

Kaplansky, I. "Modules Over Operator Algebras." Amer. J. Math. 75, 839-858, 1953.Lance, E. C. Hilbert C-*-Modules: A Toolkit for Operator Algebraists. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1995.Paschke, W. L. "Inner Product Modules Over B*-Algebras." Trans. Amer. Math. Soc. 182, 443-468, 1973.Rieffel, M. A. "Morita Equivalence Representations of C^*-Algebras." Adv. in Math. 13, 176-257, 1974.Wegge-Olsen, N. E. K-Theory and C-*-Algebras: A Friendly Approach. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.

引用为

Moslehian, Mohammad Sal. "Hilbert C^*-Module." 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/HilbertC-Star-Module.html

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